充分条件与必要条件


教材分析


充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容．学习数学需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断和


推理，这就离不开对充分条件与必要条件的掌握和运用，而且它们也是认识问题、研究问题的工具．这


节内容在“四种命题”的基础上，通过若干实例，总结出了充分条件、必要条件和充要条件的概念，给


出了判断充分条件、必要条件的方法和步骤．教学的重点与难点是关于充要条件的判断．


教学目标
1. 结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．


2. 理解充要条件，掌握判断充要条件的方法和步骤．


3. 通过充要条件的学习，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力，逐步提高学生分析问题、解决问


题的能力． 研修结业教学案例充分条件与必要条件_文库下载
任务分析


这节内容是学生在学习了“四种命题”、会判断一个命题的真假的基础上，主要根据“pq”给出了充分


条件、必要条件及充要条件．虽然从实例引入，但是学生对充分条件、必要条件的理解，特别是对必要


条件的理解有一定困难．对于本节内容的学习，首先要分清谁是条件，谁是结论，其次要进行两次推理


或判断．


（1）若“条件


（2）若“条件结论”，则条件是结论的充分条件，或称结论是条件的必要条件． 结论”，则条件是结


论的不充分条件，或称结论是条件的不必要条件． 教学设计


一、问题情境


［提出问题］


1. 写出命题“若x＞0，则x2＞0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断原命题、逆命题、否命题


、逆否命题的真假．
原命题：若x＞0，则x2＞0．真命题．


逆命题：若x2＞0，则x＞0．假命题．


否命题：若x≤0，则x2≤0．假命题．


逆否命题：若x2≤0，则x≤0．真命题．


2. “若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假．


“若p则q”为真，即如果p成立，那么q一定成立，记作pq或qp．


q． “若p则q”为假，即如果p成立，那么q不一定成立，即由p推不出q，记作p


［进一步的问题］


“若x＞0，则x2＞0”，为真，可记作“p


（1）x＞0是x2＞0的什么条件？


（2）x2＞0是x＞0的什么条件？ q”．


二、建立模型


1. 学生分析讨论，教师点拔


（1）x＞






0x2＞０，x＞0是x2＞0的什么条件？


在这个问题中，“x＞0”是 研修结业教学案例充分条件与必要条件_文库下载
“条件”，“x2＞0”是“结论”；已知x＞






0x2＞0表示若“条件”成立，则“结论”一定成立，说明“条件”蕴涵“结论”，说明“条件”是“结


论”的充分条件．


（2）x2＞






0x＞0，x2＞0是x＞0的什么条件？


在这个问题中，“x2＞0”是“条件”，“x＞0”是“结论”；已知x＞










0x2＞0表示若“结论”成立，则“条件”一定成立，说明“结论”蕴涵“条件”，即若“条件”成立，


则“结论”不一定成立，说明“结论”是“条件”的必要条件．


2. 师生共同参与，给出充分条件、必要条件的定义


如果已知p


3. 充要条件


问题：记p：三角形的三条边相等，q：三角形的三个角相等．问：p是q的什么条件？ q，那么，p是q的


充分条件，q是p的必要条件．
解：（1）p


（2）qq，即p是q的充分条件． p，即p是q的必要条件．


综合（1）（2），我们就说p是q的充要条件．


如果pq，且qp，记作pq，这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么就说p是q的充分必要条件，


简称充要条件．


4. 提出问题，组织学生讨论


如何判断充要条件？


（1）分清谁是条件p，谁是结论q．


（2）进行两次推理或判断，即判断p


（3）根据（2）写出结论． q是否成立，qp是否成立．


三、解释应用


［例 题］


1. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．


（1）p：x＞0；q：x2＞0．


（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）


（2）p：x＝y；q：x2＝y2．


（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）


（3）p：两三角形面积相等；q：两三角形全等．


（p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件）


（4）p：两直线平行；q：内错角相等．


（p是q的充要条件，q是p的充要条件）


（5）p：x＝y；q：x2＋y2＝1．


（p是q的既不充分又不必要条件，q是p的既不充分又不必要条件）


2. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
（1）p：（x－2）（x－3）＝0；q：x＝3．


（2）p：四边形对角线相等；q：四边形是矩形．


（3）p：a≠0；q：a·b≠0．


（4）p：a＋5是无理数；q：a是无理数．


（5）p：x≤5；q：x≤3．


［练 习］


1. 下列各组命题中的p是q的什么条件？


（1）p：x2＋y2＝0，q：x·y＝0．


（2）p：m＞0；q：x2＋x－m＝0有实数根．


（3）p：a＞b；q：a2＞b2．


（4）p：x2＝3x＋4；q：x＝


（5）p：x＞-1；q：x＞1．


（6）p：a，b都是偶数；q：a＋b是偶数．


2. （1）如果原命题若p则q为真而逆命题为假，那么p是q的条件．


（2）如果原命题若p则q为假而逆命题为真，那么p是q的条件．


（3）如果原命题若p则q与其逆命题都为真，那么p是q的条件．


（4）如果原命题若p则q与其逆命题都为假，那么p是q的条件．


四、拓展延伸


1. 已知p，q都是r的必要条件，S是r的充分条件，q是S的充分条件，那么，


（1）S是q的什么条件？


（2）r是q的什么条件？


（3）p是q的什么条件？


2. “关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的充要条件是什么？
3. “3x2－10x＋k＝0有两个同号且不相等实根”的充要条件是什么？


点 评


这篇案例注重新、旧知识的内在联系，以旧引新，过渡自然．首先，复习已学过的知识“四种命题”和判断命题的真假，并以此巧妙地引出了推断符号pq，pq．其次，在此基础上，通过实例，创设问题情境，引出课题p是q的什么条件．最后，明确充要条件，并给出判断充要条件的方法和步骤．环环相扣，层层深入，重点突出，抓住了关键．例题与练习由浅入深，符合学生的认知规律．拓展延伸富有新意，有利于培养学生的探索能力和创新意识，有利于培养学生的思维能力和思维品质，整个设计圆满地完成了教学任务．