集合的概念和表示方法

教材分析

集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合．

教学目标

1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法．

2. 初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质．

3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力．

任务分析

这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握．

教学设计

一、问题情境

1. 在初中，我们学过哪些集合？

2. 在初中，我们用集合描述过什么？

学生讨论得出：

在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．

在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．

3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？

学生讨论得出：

“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，……

4. 请写出“小于10”的所有自然数．

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合．

5. 什么是集合？

二、建立模型

1. 集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）

（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．

（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．

（3）集合中的元素与集合的关系：

a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A；

a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA．

例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B．

2. 集合中的元素具备的性质

（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．

（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．

例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素．

（3）无序性：集合中的元素无顺序．

例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合．

3. 常用的数集及其记法

全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N．

非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N^*或N₊；

全体整数的集合简称整数集，记作Z；

全体有理数的集合简称有理数集，记作Q；

全体实数的集合简称实数集，记作R．

4. 集合的表示方法

［问　题］

如何表示方程x²－3x＋2＝0的所有解？

（1）列举法

列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．

例：x²－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．

（2）描述法

描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．

例：①x²－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x²－3x＋2＝0｝．

②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝．

③Venn图法

例：x²－3x＋2＝0的解集可以表示为（1，2）．

5. 集合的分类

（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．

（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，N．

（3）空集：不含任何元素的集合，记作．例如，｛x｜x²＋1＝0，x∈R｝＝．

注：对于无限集，不宜采用列举法．

三、解释应用

［例　题］

1. 用适当的方法表示下列集合．

（1）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数．

（2）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P．

（3）在平面a内，线段AB的垂直平分线．

（4）不等式2x－8＜2的解集．

2. 用不同的方法表示下列集合．

（1）｛2，4，6，8｝．

（2）｛x｜x²＋x－1＝0｝．

（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．

3. 已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．

（A＝｛0，3，5｝）

4. 用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合．

［练　习］

1. 用适当的方法表示下列集合．

（1）构成英语单词mathematics（数字）的全体字母．

（2）在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．

（3）矩形构成的集合．

2. 用描述法表示下列集合．

（1）｛3，9，27，81，…｝．

（2）

四、拓展延伸

把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述．

（1）｛（x，y）｜y＝x²＋1，x∈R｝．

（2）｛y｜y＝x²＋1，x∈R｝．

（3）｛（x，y）｜y＝x²＋1，x∈R｝．

（4）｛x｜y＝x²＋1，y∈N^*｝．

点　评

这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握．例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益．拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识．