教学基本信息

题目

圆的面积 

学科

小学数学

年级

六年级

教材内容

人教版小学数学六年级上册“圆的面积” 

个人信息

设计者

姓名

单位

王志斌

江西九江武宁船滩小学

1. 教材分析

  《圆的面积公式》这部分内容是在学生初步认识了圆,学习了圆的周长,以及学过几种常见几何图形面积的基础上进行教学的。学生从学习直线图形的面积,到学习曲线图形的面积,不论是内容本身还是研究方法,都是一次质的飞跃。学生掌握了圆面积的计算,不仅能解决简单的实际问题,也为以后学习圆柱、圆锥的知识打下基础。

  教材首先提出圆面积的概念,接着提出如何把圆转化成已学过的图形来计算面积的问题。把未知的问题转化成已知的问题,是常用的数学思想和方法。让学生用这种数学思想和方法来解决新的比较复杂的问题。教材采用实验的方法,把圆平均分成若干份,再拼成一个近似长方形,然后由长方形的面积公式推导出圆面积计算公式。

2. 学情分析

    在本节课之前,学生已认识了各种平面图形的特征以及学会了三角形、平行四边形及梯形面积的推导方法,知道可以利用剪拼的方法把要学的图形转化成已学过的图形,然后研究两者间的关系,从而推导出公式,并已渗透转化的思想,为学习圆面积公式的推导找到了学习的方法。而且让学生动手剪拼进行操作活动,使学生了解图形之间的联系,既能加深对图形性质的认识,又能发展学生的认知能力。

  3. 教学目标(含重、难点)

  1、了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积计算公式。

  2、能正确运用圆的面积公式计算圆的面积，并能运用圆面积知识解决一些简单实际的问题。

  3、培养学生动手操作、观察分析、概括推理的能力。渗透转化的数学思想和极限思想。

  【教学重点】 圆面积公式的推导及应用。

  【教学难点】 圆面积公式的推导过程。

4. 教学过程

    一、 创设情境。

    出示：草地上长满了青草，一只羊被栓在草地的木桩上，请问：它能吃光全部青草吗？它最多能吃到哪个范围内的青草？请大家画出这只羊活动范围的示意图，两位同学到黑板上画。（一位画的是周长，另一位画的是面积）           （动画演示）

    提出问题：这个范围的大小指圆的周长还是面积？为什么？（板书：圆的面积）

二、 探究思考、解决问题

    1、估计圆面积大小

（出示插图）

    用边长等于半径的小正方形透明塑料片,直接度量圆面积,(如图)观察后得出圆面积比4个小正方形小,好象又比3 个小正方形大一些。初步猜想:圆的面积相当于r2的3倍多。

    由此看出,要求圆的精确面积通过度量是无法得出的。

    2、 由旧知引入新知

    我们在学习推导几何图形的面积公式时,总是把新的图形经过分割、拼合等办法,将它们转化成我们熟悉的图形, 大家还记得我们以前学习的平行四边形、三角形、梯形面积分别是由哪些图形的面积推导来的吗？今天我们能不能也用这样的方法推导出圆面积的计算公式呢?

    【这一探索性地设问,使学生产生悬念,引入深思。它与得出圆面积计算公式后的验证,前后呼应,融为一体。使学生对圆面积与r2的倍数关系,获得十分鲜明的表象,而且有助于避免与圆周长的计算公式(C=2πr)产生混淆。】

    3、 探索圆面积公式

    （1） 学生操作

师：请大家拿出准备好的16等分的圆，和小组同学一起剪一剪，拼一拼，看看能拼成一个什么图形？并考虑你拼成的图形与原来的圆形有什么关系？（同学们开始操作，教师巡视）

    （2）指名汇报

初步汇报：你们把圆转换成了什么图形？（在学生说的同时教师课件演示）

学生可能出现的3种情况（随机出示课件）          

    （3）操作反思

小组内拿出32等分的圆形，剪一剪，拼成一个平行四边形，和用16等分的圆拼成的平行四边形比较你发现了什么？ [32等份后拼成的图形更接近于平行四边形] (课件演示)

如果把一个圆等分成64份、128份……拼成的平行四边形会怎样呢? (圆等分的份数越多,拼成的图形越接近于长方形。) 

    （4）转化思考：近似平行四边形的底相当于圆的哪一部分?怎样用字母表示?

(圆周长的一半，C/2=πr),它的高是圆的哪一部分?(半径r)（课件演示）

    （5）观察汇报：    

你能否由平行四边形的面积公式得到圆形面积公式呢？并说出你的理由。 [ 因为拼成的平行四边形的底也就是圆形周长的一半，平行四边形的高就是圆形的半径。而平行四边形面积=底×高，那么，圆形面积=圆周长的1/2×半径即可。]

（生说，教师板书）用字母怎么表示圆面积公式呢？（课件演示） 

S=πr2

    【指导学生自己动手,并通过课件演示,把一个圆剪拼成近似的平行四边形,从平行四边形面积公式,推出圆面积计算公式。这样,可以培养学生初步的空间想象力,也可以渗透以直代曲的辩证唯物主义观点。】

你能否由长方形的面积公式得到圆形面积公式呢？（课件演示） 并说出你的理由。

    【引导学生通过多次不同的实验,采用转化的方法,利用等积变形把圆面积转化成近似的长方形，从而推导出圆面积计算公式。同时,利用计算机的演示,化静为动,化虚为实,帮助学生把抽象的内容具体化,进一步加深对圆面积公式推导过程的理解。】

   （6）练习：教材18页第一题。（学生练习，教师巡视指导）（集体交流）

    三：拓展应用

下面我们就一起来动脑筋解决以下下面的问题，看谁能过关斩将笑到最后！ 

　　1、现在你可以求出小羊大约最多能吃到多少面积的青草吗？为什么？请你给它补个条件。（照应了开头，又学练习了面积的计算。）

    2、（１）圆的周长计算公式为（　），圆的面积计算公式为（　）。 

（２）一个圆的半径是3厘米，求它的周长，列式（ ），求它的面积，列式（　）。 

（３）一个圆的周长是18.84分米，这个圆的直径是（　）分米，面积是（　）平方分米。 

    3、同学们怎么计算树的横截面的面积，是不是一定把树木锯断？

（同学们讨论答出测出周长后师再出题）

树的周长是18.84平方米，求树的横截面的面积？

（用学到的知识来解决生活中的问题，培养学生的应用能力）

    四、简介中国古代数学家的割圆术。

今天我们探究出了圆的面积计算公式，真了不起，在人们没有总结出这个公式的时候，如何计算圆的面积，是各国数学家共同关心的问题。老师这里有一段小故事，大家一起来读一读：

读了这个故事，你想说点什么？

    五、这堂课大家学到了什么？有什么收获？

　　（学生热烈发言，最后教师总结。）

    六、课后作业:

    圆形的物体生活中随处可见，公园的露天广场是个圆形，怎样才能计算广场的面积呢？你有哪些方案？

    【让学生讨论，并留给学生课后去实践。这样，使学生意犹未尽，感到课虽尽，但疑未了，为下一课已知周长求面积埋下伏笔。】

5．板书设计

 圆的面积

平行四边形的面积=底×高

长方形的面积=长×宽

圆的面积=πr×r =πr2

    S=πr2  

6．教学活动设计（含师生对话设计）

1.导入新课：认识体会圆的面积

1）、启发学生回忆平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程。　　S=as=abs=ah
　　S=ah÷2S=ah÷2S=(a+b)h÷2

2）、拿出自己手中的圆形硬纸。提问:这是什么图形?看到圆想到什么?圆所围平面部分的大小叫什么?出示课题。怎样计算圆的面积呢?请同学们思考。 学生的学习过程既是一个认知的过程，又是一个探究的过程。小学生一般都具有好奇、好问的探究心理，创设问题情境，能够使学生的学习心理迅速地由抑制到兴奋，而且还会使学生把知识的学习当作一种自我需要，能引起学生内部认知矛盾的冲突，使学生在疑中生奇，疑中生趣，不断激起学生的学习欲望。
　　圆所围平面部分的大小叫圆的面积。通过对旧知的回忆,激起学生从旧知识探索新知识的兴趣,并决定思想方向,有利于学生想象能力的培养。
　　课本既是教师教学的主要依据，又是学生学习获取知识的主要来源，而且注重培养了学生自学、会学的良好习惯。

1) 动手操作：把自己手中的圆形硬纸平均分成若干份，看看能不能拼成我们学过的图形？

2)小组交流讨论：刚才拼成的图形和圆之间有什么关系？

学生汇报讨论结果。

3）课件演示 href="#_msocom_3" [微软用户3] ：请看大屏幕，把圆分成16等份，拼成了近似平行四边形，再分成32等份，拼成近似的平行四边形，再分成64等份，拼成近似长方形，你发现什么？（如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。）

4）小组讨论 href="#_msocom_4" [微软用户4] ：你能根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式吗？生边答师边演示课件。

生答：因为拼成的长方形的面积与圆的面积相等，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径。

因为长方形的面积=长×宽　　　　　

所以圆的面积=周长的一半×半径

　　S=πr × r

　　S=πr2

师小结公式 S=πr2，让学生小组内说说圆的面积是怎样推导出来的？

5）强调：圆的面积和什么有关系？（半径）

6)利用公式计算：动手量一量手中的硬纸。算一算它的面积　。　

7.教学反思

    本节课的教学设计主要体现以下特点：

    1．注重学生的实践活动。只有通过实践学生才能把具体的转化成抽象的表象在头脑中清晰地反映出来。在面积公式推导过程中，学生的实际操作是必不可少的一部份，如放在课堂上会占用很多时间，考虑到学生操作起来较慢，于是先让学生预先进行实际的操作，然后把操作的成果带回来上课用。课后，也要求学生进行实践操作。

    2．使学生运用迁移的方法，把新知识转化为旧知识，把圆转化成已经学过的图形。通过让学生回忆平行四边形、三角形、梯形的面积公式的推导，复习了“转化”的思想，顺其自然也可以想到把圆转化成已学过的图形，介绍分割圆的方法，展示由“曲”变“直”的过程，小组讨论，推导出圆面积公式。培养学生动手操作，口头表达和逻辑思维的能力，渗透了极限和转化思想。

    3. 圆除了剪拼成近似的长方形外，还可以转化成近似的三角形、近似的梯形。如果让学生在这里再动手操作，对学生思维的拓展是有很大的好处，但一节课无法容纳这么多的内容，所以这一节课就选择了单纯让学生把圆转化成近似长方形来推导圆面积的公式。但回头想想，也可以把圆的面积分两课时来上，一课时是让学生操作，圆可以转化成什么图形？第二课时才深入地研究如何推导圆面积的公式，这样费时多些但对学生的能力开拓会更有好处。

    4、充分运用多媒体，形象演示圆面积的转化过程，有助提高学生的思维能力。