《二次函数与一元二次方程（1）》案例

 一.学生知识状况分析

学生已经学习过二次函数的图象和性质，这是单纯从函数知识“形”的层面进行认识，本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系，将从方程知识“数”的层面进一步认识二次函数，也就是用数形结合的数学思想来认识二次函数．

     二、教学任务分析

通过数学活动积累学生数形结合方法的运用经验，体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，利用二次函数图象理解一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力．

教学目标

知识与技能：

1．理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的个数之间的对应关系；

2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．

过程与方法：

1．通过观察二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想； 

2．理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．

情感态度与价值观：

1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，结合数形结合的思想体会二次函数与方程之间的联系；

2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性．

教学重点

理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数之间的关系．

教学难点

理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．

三、教学过程分析

第一环节：学科交叉，发现问题

我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．

一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：

（1）h和t的关系式是什么？

h=-5t2+40t

（2）小球经过多少秒后落地?

你有几种求解方法?与同伴进行交流．

[方法一]看图象可知，8秒落地

[方法二]解方程：-5t2+40t=0

第二环节：建立模型，分析问题

[活动1] 二次函数①y=x2+2x，②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的图象

如下图所示，与同伴交流并回答问题．

第三环节：数形结合，解决问题

    [议一议]二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ 

二次函数y=ax2+bx+c的图          一元二次方程ax2+bx+c=0

象和x轴交点有三种情况:               的根有三种情况：

             有两个交点                   有两个不相等的实数根

             有一个交点                    有两个相等的实数根

              没有交点                          没有实数根

解：选D．

第四环节：回归生活，提升问题（幻灯片11-12）

第五环节：反思辨析，深入问题

[想一想] 何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？

方法一：利用图象

方法二：利用方程

               把h=60代入方程，得

               －5t2+40t=60，解得 

                 x1=2，x2=6

第六环节：拓展延伸，巩固应用

    根据学生具体需要选择适当的拓展资源．

第七环节：归纳小节

鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，是否理解了理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，即何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；是否掌握了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标．