函数的单调性

考纲要求

1．理解函数单调性的概念；

2．掌握判断一些简单函数单调性方法，并能利用函数的单调性解决一些问题．

知识梳理

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是__________或__________，则称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．

2．函数的单调性有如下几种等价形式

(1)对于任意的x1，x2∈[a，b]，x1－x2(x2)＞0(＜0)⇔f(x)在[a，b]上是__________．

(2)对于任意的x1，x2∈[a，b]，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＞0(＜0)⇔f(x)在[a，b]上是__________．

思维拓展

1．已知函数y＝f(x)定义域为I，若函数在区间[a，b]([a，b]I)上是增加的(减少的)，能说函数在定义域I上单调递增(递减)?

提示：函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

2．函数y＝x(1)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，这种表示法对吗？

提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

3．函数的单调性反映在其图像上有什么特征？

提示：函数的单调性反映在图像上是上升或下降的．

一、函数单调性的判断

【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上增加的是(　　)．

A．y＝2(1)x

B．y＝－log2x

C．y＝x2－2x

D．

【例2】讨论函数f(x)＝x－2(mx)(m＜0)的单调性．

方法提炼1．判断或证明函数的单调性，最基本的方法是利用定义或利用导数．

利用定义的步骤是：设元取值→作差(商)变形→确定符号(与1比较大小)→得出结论；

利用导数的步骤是：求导函数→判断导函数在区间上的符号→得出结论．

2．两个增(减)函数的和函数仍是增(减)函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定．

3．对于复合函数y＝f[g(x)]，如果内、外层函数单调性相同，那么y＝f[g(x)]为增函数，如果内、外层函数单调性相反，那么y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．

二、求函数的单调区间

【例3】定义在R上的偶函数f(x)满足：任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有x2－x1(x1)＜0，则(　　)．

A．f(3)＜f(－2)＜f(1)

B．f(1)＜f(－2)＜f(3)

C．f(－2)＜f(1)＜f(3)

D．f(3)＜f(1)＜f(－2)

【例4】求函数的单调区间．

方法提炼1．求函数的单调区间与确定单调性的方法：

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．

(4)图像法：如果函数是以图像形式给出的，或者函数的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．

2．求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤：

(1)确定函数定义域；

(2)将复合函数分解成两个基本初等函数；

(3)分别确定两基本初等函数的单调性；

(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．