完全平方公式的变形与应用

发布者：刘丽君     所属单位：莲塘第六中学     发布时间：2016-03-17    浏览数：0

  完全平方公式的变形与应用

完全平方公式在使用时常作如下变形：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

 

例1  已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？

解  设长方形的长为α，宽为b，则α+b=20，αb=75.

由公式(1)，有：

    α²+b²=(α+b)²-2αb=20²-2×75=250.

(答略，下同)

例2  已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.

解  设长方形长为α，宽为b，则α-b=4，αb=12.

由公式(2)，有：

(α+b)²=(α-b)²+4αb=4²+4×12=64.

例3  若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.

证明  设整数为x，则x=α²+b²(α、b都是整数).

由公式(3)，有2x=2(α²+b²)=(α+b)²+(α-b)².得证

例4  将长为64cm的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？

解  设绳被分成的两部分为x、y，则x+y=64.

设两正方形的面积之和为S，则由公式(4)，有：

    S=( eq \f(x,4))²+( eq \f(y,4))²= eq \f(1,16)(x²+y²)

    = eq \f(1,32)[(x+y)²+(x-y)²]

     = eq \f(1,32)[64²+(x-y)²].

∵(x-y)²≥0，

∴当x=y即(x-y)²=0时，S最小，其最小值为 eq \f(64²,32)=128(cm²).

例5  已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.

解  设这两数分别为α、b，则α+b=10，α²+b²=52.

由公式(5)，有：

      αb= eq \f(1,2)[(α+b)²-(α²+b²)]

         = eq \f(1,2)(10²-52)=24.

例6  已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.

求：α²+b²+c²-αb-bc-cα的值.

解  由公式(6)有：

     α²+b²+c²-αb-bc-αc

    = eq \f(1,2)[(α-b)²+(b-c)²+(c-α)²]

    = eq \f(1,2)[(-1)²+(-1)²+2²]

    = eq \f(1,2)×(1+1+4)=3.