平方差公式在因式分解中的五种表现
应用平方差公式,把多项式进行分解因式的方法,就叫做平方差公式法。
公式表述为:
a2- b2=(a+b)(a-b)。
应用平方差公式满足的条件:
等式的左边是一个两项多项式,并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算;
等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和,另一个因式是等式左边两个平方幂的底数的差。
1直接应用
例1、分解因式: .(2008年贵阳市)
分析:左边是两个单项式的差,关键是把数字4写成22,这样,左边就变形为x2- 22,这样,就和公式一致了。
解::x2-4=x2- 22=(x+2)(x-2)。
2、提后用公式
例2、分解因式:3-27= .(08茂名)
分析:在分解因式时,先考虑提公因式,后考虑用平方差公式法。
解:
3-27
=3(x2-9)
=3(x2- 32)
=3(+3)(-3)。
3、变化指数后用公式
例3、248-1能被60和70之间的两个数整除。这两个数各是多少?
分析
因为,48=2×24,所以,248=(22)24=(224)2,这样,就满足了平方差公式的要求了。
解:
因为,48=2×24,所以,248=(22)24=(224)2,
所以,248-1=(224)2-(1)2=(224+1)(224-1)
=(224+1)(224-1)=(224+1)【(212)2-(1)2】
=(224+1)【(212+1)(212-1)】
=(224+1)(212+1)【(26)2-(1)2】
=(224+1)(212+1)【(26+1)(26-1)】
=(224+1)(212+1)(26+1)【(23)2-(1)2】
=(224+1)(212+1)(26+1)【(23+1)(23-1)】
=(224+1)(212+1)(26+1)×9×7
=(224+1)(212+1)(26+1)×65×63
因为,整除的两个数在60和70之间,
且60<63<70,60<65<70,
所以,这两个数分别是63、65。
4、先局部用完全平方公式,后整体用平方差公式
例4、若a、b、c是三角形的三条边长,则代数式,a2-2ab- c2+b2的值:
A、 大于零 B、小于零 C、等于零 D、与零的大小无关
分析:
由a2-2ab- c2+ b2= (a-b)2- c2=(a-b+c)(a-b-c),
因为、a、b、c是三角形的三条边长,
所以,两边之和一定是大于第三边的,因此,a+c>b,b+c>a,
所以,a-b+c>0,a-b-c<0,
所以,(a-b+c)(a-b-c)<0,
因此,正确的答案是B。
5、乒乓球比赛中的应用
例5、有10为乒乓球选手进行乒乓球单循环比赛(每两人之间均要赛一场)如果用x1,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数,用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,
用x10,y10顺次表示第十号选手胜与负的场数,则这10位选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和是相等的。
即=。你能用所学的知识解释里面的道理吗?
分析:
因为,是进行的单循环比赛,
所以,每一位选手的胜的场数与负的场数是相同的,都是9场,
从比赛的整体来看,所有队员胜的场数与负的场数也一定是相等的,
这两个隐含的条件是问题解决的关键所在。
解:
因为,是进行的单循环比赛,
所以,,
同理,
,
………
,
所以,=,
所以,()-()=0,
所以,()-()
=()+()+……+()
=()()+()()+…+()()
=9()+9()+…+9()
=9(++…+)
=9【()-()】
=0,
所以,=。
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