12.2 三角形全等的判定 第1课时[中国~@*^教育出&版网]

一、教学目标

（一）学习目标

1．经历探索三角形全等条件的过程，体验分类讨论的数学思想，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.[来@*源:中^%教网&]

2．经历探索利用 “边边边”判定两个三角形全等的过程，体会从特殊到一般的数学思维过程.

3．掌握三角形全等的判定“边边边”，初步体会并运用综合推理证明命题，掌握作一个角等于已知角的方法.

（二）学习重点

1．指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.[中国教~#育&@出^版网]

2．三角形全等的“边边边”条件的探索和运用.

（三）学习难点

1．理解证明的基本过程，初步学会证三角形全等的格式.

2．会用尺规作一个角等于已知角.

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）

（2）利用尺规作一个角等于已知角.其作法的根据是  边边边   .

2．预习自测[中#@国教%育出&^版网]

（1）如图，AB=AD，CB=CD，则________≌_________. 根据是________.

【知识点】全等三角形的判定：边边边

【思路点拨】图中的隐含条件公共边“AC=AC” 

【答案】△ABC，△ADC，  边边边 或SSS[中国%@*教^育出版网~]

（2）如图，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是（    ）

A．△ABC≌△BAD    B．∠C=∠D   C．∠CAB=∠DBA   D．OB=OD

【知识点】全等三角形的判定：边边边，全等三角形的性质.

【思路点拨】由题中两个条件和公共边可证得两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得对应边相等.

【解题过程】

由AC=BD，AD=BC，AB=BA，可证得△ABC≌△BAD，故A正确；由△ABC≌△BAD，可得∠C=∠D，故B正确；由△ABC≌△BAD，可得∠CAB=∠DBA，故C正确；OB和OD不是△ABC和△BAD的对应边，故D不正确.

故选：D[来~源*:中国教育出版^&@网]

（3）将下列推理过程补充完整.[中#国&教%育*出版网@]

如图，AB=CD，BF=DE，E.F是AC上两点，且AE=CF．

求证:∠B=∠D.

证明：∵AE=CF

∴AE+EF=CF+EF

即______=________.

在△ABF和△CDE中，

∴△ABF≌△CDE (         )

∴____________________.

【知识点】全等三角形的判定定理：边边边，全等三角形的性质.

【思路点拨】利用等式的性质，等式两边同时加上EF，可得AF=CE，再得△ABF≌△CDE，最后由全等三角形的性质得∠B=∠D.

【答案】AF，CE，AB=CD，BF=DE，AF=CE，SSS，∠B=∠D

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.

2．问题探究

探究一：探索三角形全等的条件

●活动① 创设情境，提出问题

问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？

【设计意图】问题的提出使学生产生浓厚的兴趣，激发他们的探究欲望.

●活动② 建立模型，探索发现

1．两个三角形满足六个条件中的一个条件，两个三角形全等吗？一个条件有几种情况？

学生经过交流得出：一条边或一个角.[来@源%#:^中教网&]

2.（1）让学生画一个一边长为3cm的三角形，画后剪下来看与同桌的三角形能否重合.

（2）让学生画一个一个角为30°的三角形，画后剪下来看与同桌的三角形能否重合.

只给定一条边相等：[来~源:中国教&育^出%版网#]

只给定一个角相等：

3．通过上面的操作，你得到了什么结论？

学生讨论后得出结论.

结论：两个三角形一条件相等不一定全等.

【设计意图】学生动手操作，通过实践、自主探索、交流，获得新知，同时也渗透了分类讨论的思想.

●活动③

1．两个三角形满足六个条件中的两个条件时两个三角形全等吗？两个条件有几种情况？

学生分组交流讨论.

结论：一条边和一个角相等、两个角相等、两条边相等.

2．让学生画一个一边长为3cm和一个角为30°三角形，画好后剪下来看与同桌的三角形能否重合？

[中%国教育^*&~出版网]

3．让学生画一个两个角分别为30°和50°的三角形，画好后剪下来看与同桌的三角形能否重合.

4．让学生画一个两边分别为3cm和5cm的三角形，画好后剪下来看与同桌的三角形能否重合.

5．通过上面的操作，你得到了什么结论？[中&国#教^育@*出版网]

学生通过画一画，比一比，得出结论.

结论：两个三角形两个条件相等不一定全等.

【设计意图】学生动手操作自主探索、交流，获得新知，明确两条件不能判定两个三角形全等，为探究后面三个条件判定两个三角形全等作铺垫.

[来*源:中@教网&^%]

探究二：探索三角形全等的判定“边边边”.

1．师问：前面通过探究一个条件或两个条件的两个三角形不一定全等，那么当满足三个条件的两个三角形是否全等，三个条件有几种情况？

学生分组讨论后，每组选代表发言.

结论：三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．[w&^ww~.z*z@step.com]

师问：三个内角相等全等吗？请举例说明.

通过学生的回答，全班明白三个内角相等的两个三角形不一定全等.

2．画一个三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm．画好后剪下来看与同桌的三角形能否重合.

3．任意画一个△ABC，根据前面作法，同样可以作出一个△A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，观察两个三角形能否重合．[来源:中国%教育出版@~#&网]

4．通过上面的操作，你得到了什么结论？

学生经过特殊到一般的思想，通过画一画，比一比，得出结论.

结论：两个三角形满足三条边相等时，这个两个三角形全等。

【设计意图】学生通过动手操作，得到“三边分别相等的两个三角形全等”，体会从特殊到一般的数学思考方式.[中国教@&%育出^版网~]

探究三：利用全等三角形的判定“SSS”解决问题.

例1：如图，AB=DE，AC=DF，BF=CE．若∠B＝40°，∠D=110°， 则∠DFE=__________ .

【知识点】全等三角形的判定边边边，全等三角形的性质，三角形的内角和.

【思路点拨】利用等式的性质，等式两边同时加上FC，可得BC=FE，再得△ABC≌△DEF，最后由全等三角形的性质解决问题.

【解题过程】∵BF=CE，∴BC=EF，又∵AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF，可得∠B＝∠E=40°，在△DEF中，由三角形的内角和可知，∠DFE=30°.

【答案】30°.

练习：如图，AB=AD，CB=CD，∠B＝30°，∠BAD=48°，则∠ACD=______.

【知识点】全等三角形的判定边边边，全等三角形的性质，三角形的内角和.

【思路点拨】利用图中隐含条件公共边“AC=AC”，又因为 AB=AD，CB=CD

再得△ABC≌△ADC，最后由全等三角形的性质解决问题.

【解题过程】∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，可得∠B＝∠D=30°， ∠BAC＝∠DAC=24°，在△ADC中，由三角形的内角和可知，∠ACD=126°.

【答案】126°

【设计意图】通过练习，掌握全等三角形的判定定理边边边.

例2：△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，请问AD⊥BC吗？请说明理由．

[来源:中&*国^教育出#版网@]

【知识点】全等三角形的判定边边边，全等三角形的性质.[来*@源:中国教育出版%#网&]

【数学思想】数形结合思想

【思路点拨】中点的性质和公共边，注意证全等三角形的规范书写.

【解题过程】解：AD⊥BC

理由如下：∵D是BC的中点

          ∴BD＝DC

在△ABD和△ADC中，

∴△ABD≌△ACD (SSS)[来源^&:*@中教网%]

∴∠BDA＝∠ADC＝90° (全等三角形对应角相等)

∴AD⊥BC.

练习 如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD=BE， 求证：CD∥BE

【知识点】全等三角形的判定边边边，全等三角形的性质，平行线的判定.

【数学思想】转化思想.

【思路点拨】先证得△ACD≌△CBE， 然后根据全等三角形的对应角相等即可证得∠ACD＝∠B，最后由平行线的判定可证得CD∥BE

【解题过程】

证明：∵C是AB的中点，∴AC＝CB.

在△ACD和△CBE中，[来*源:中^教%@网#]

[中%#国教*育^出版网~]

∴△ACD≌△CBE (SSS)

∴∠ACD＝∠B(全等三角形对应角相等)

∴CD∥BE(同位角相等，两直线平行)

【设计意图】巩固中点知识，养成在几何图形中找隐含的等量关系.掌握三角形全等的判定“边边边”，初步体会并运用综合推理证明命题.

例3如图，已知AD=CB，AF=CE，DE=BF．求证：AD∥CB.

【知识点】全等三角形的判定边边边，全等三角形的性质，平行线的判定.

【数学思想】数形结合思想.

【思路点拨】先证得△ADE≌△CBF， 然后根据全等三角形的对应角相等即可证得∠DAE＝∠BCF，最后由平行线的判定可证得AD∥CB.

【解题过程】

证明：∵AF=CE

      ∴AF-EF＝CE-EF

即AE=CF

在△ADE和△CBF中，[来^源#:%中教&@网]

∴△ADE≌△CBF (SSS)

∴∠DAE＝∠BCF(全等三角形对应角相等)

∴AD∥CB(内错角相等，两直线平行)

练习 如图，点B.C.D.E在同一直线上，已知AB＝FC，AD=EF，BC=DE，[来源&:中教网@*#^]

请问AD与EF有何关系？并说明理由.

【知识点】全等三角形的判定边边边，全等三角形的性质，平行线的判定.

【思路点拨】先证得△ABD≌△FCE， 然后根据全等三角形的性质可证得AD=EF，∠ADB＝∠FEC，最后由平行线的判定可证得AD∥EF.

【数学思想】数形结合思想，分类讨论思想.

【解题过程】

解：AD=EF， AD∥EF，理由如下：

∵BC=DE

∴BC+CD=DE+CD

即BD=CE

在△ABD和△FCE中，

∴△ABD≌△FCE(SSS)

∴∠ADB＝∠FEC，AD=EF (全等三角形对应角相等)

∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)

【设计意图】利用等式性质，两条相等的线段同时加上（或减去）同一条线段（或相等的线段）所得线段仍然相等.运用三角形全等的判定 “边边边”，初步体会并运用综合推理证明命题.[www.zz&^st#ep.co*m~]

例4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠B=∠D.

[来源:%中教网@#~*]

【知识点】全等三角形的判定“边边边”，全等三角形的性质.

【数学思想】通过将“文字语言”，“图形语言”转化为“符号语言”.体会转化思想.

【思路点拨】先连接AC，由于AB=AD，CB=CD，AC=AC，利用SSS可证△ABC≌△ADC，于是∠B=∠D．要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃，实现将“文字语言”，“图形语言”转化为“符号语言”.并要求书写规范.

【解题过程】

证明：连接AC，

在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC，(SSS)

∴∠B=∠D．(全等三角形对应角相等)

练习 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE=CE.请问ED和AB的位置关系，并说明理由.[中~国&^教育#出*版网]

【知识点】全等三角形的判定“边边边”，全等三角形的性质.[中^国教@育%&*出版网]

【思路点拨】先连接AE，由于AC=AD，CE=DE，AE=AE，利用SSS可证△ACE≌△ADE，于是∠ADE=∠C=90°，从而DE⊥AB.[www*.@z~z#st^ep.com]

【解题过程】

解：DE⊥AB

理由如下：连接AE，

在△ACE和△ADE中，[中~国%教育出@#版&网]

∴△ACE≌△ADE (SSS)

∴∠ADE=∠C=90°．(全等三角形对应角相等)[w*ww.@%zz~step.^com]

∴DE⊥AB

【设计意图】渗透连接线段构造全等三角形的辅助线的方法.

例5．如图，已知∠AOB，利用直尺和圆规作∠A′O′B′=∠AOB，并说明为什么这样做出来的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？

[来^源&#:中教%~网]

【知识点】尺规作图，全等三角形的判定“边边边”，全等三角形的性质.

【解题过程】

作法：1.以点O为圆心，适当长为半径作弧交OA.OB于点C.D.[来源:zz*ste^&p.co~m%]

2．作任一射线O′A′， 以点O′为圆心，以OC长为半径作弧交O A′于点C′.

3．以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于D′.

4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB

理由：在△DOC和△D′O′C′中，

∴ △DOC≌△D′O′C′ (SSS)

∴ ∠A′O′B′=∠AOB(全等三角形对应角相等)

练习5.有一块三角形的厚铁板，根据实际生产需要，工人师傅要把∠MAN平分开．现在他手边只有一把尺子（没有刻度）和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗？并说明你的根据．[中国^*教育#&~出版网]

【知识点】全等三角形的判定“边边边”，全等三角形的性质.

【解题过程】

用绳子的一定长度在AM，AN边上截取AB=AC，再选取适当长度的绳子，将其对折，得绳子的中点D，把绳子的两端点固定在B，C两点，拉住绳子中点D，向外拉直BD和CD，再在铁板上点出D的位置，作射线AD，则AD平分∠MAN，

理由如下：

在△ACD和△ABD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BAD=∠CAD，

即AD为∠MAN的平分线．

【设计意图】三角形全等的判定“边边边”的实际应用.[来@源:中%^教&网*]

3.课堂小结

知识梳理[来源*:%@中#教网&]

（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）

（2）利用尺规作一个角等于已知角.

重难点归纳[来源:中%@#国教育出~版&网]

（1）培养学生分类讨论思想对问题进行分析.

（2）全等三角形的判定“边边边”的运用及全等三角形的性质.[来&#源%:中国^教~育出版网]

（3）利用图形语言挖掘隐含条件判定全等，连接线段构造全等三角形.

（4）会用尺规作一个角等于已知角.[来源^:z&zstep.c@~o%m]