初建课  白雪 潢川县第五中学

第2课时　函　数

1．了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系；(重点)

2．确定函数中自变量的取值范围．(难点)

一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量．当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？

从今天开始，我们就研究和此有关的问题——函数．

二、合作探究

探究点一：函数

【类型一】 函数的定义

 下列变量间的关系不是函数关系的是(　　)

A．长方形的宽一定，其长与面积

B．正方形的周长与面积

C．等腰三角形的底边长与面积

D．圆的周长与半径

解析：A中，长方形的宽一定．它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A选项是函数关系；B中，面积＝()²，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B选项是函数关系；C中，面积＝×底边上的高×底边长，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C选项不是函数关系；D中，周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系．故选C.

方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．

【类型二】 确定实际问题中函数解析式以及自变量

 下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．

(1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；

(2)设一长方体盒子高为30cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm³)也随之改变．

解析：(1)根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；(2)根据长方体的体积公式列出函数式．

解：(1)y＝10＋x(0＜x≤10)，其中x是自变量，y是自变量的函数；

(2)V＝30a²(a>0)，其中a是自变量，V是自变量的函数．

方法总结：函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．

探究点二：自变量的值与函数值

【类型一】 根据解析式求函数值

 根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为，则输出的函数值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

解析：∵x＝时，在2≤x≤4之间，∴将x＝代入函数y＝，得y＝.故选B.

方法总结：根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．

【类型二】 根据实际问题求函数值

 小强想给爷爷买双鞋，爷爷说他的脚长25.5cm，若用x(单位：cm)表示脚长，用y(单位：码)表示鞋码，则有2x－y＝10，根据上述关系式，小强应给爷爷买________码的鞋．

解析：∵用x表示脚长，用y表示鞋码，则有2x－y＝10，而x＝25.5，则51－y＝10，解得y＝41.

方法总结：当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程．

探究点三：确定自变量的取值范围

【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围

 写出下列函数中自变量x的取值范围：

(1)y＝2x－3；(2)y＝；

(3)y＝；(4)y＝.

解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．

解：(1)全体实数；

(2)分母1－x≠0，即x≠1；

(3)被开方数4－x≥0，即x≤4；

(4)由题意得解得x≥1且x≠2.

方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．

【类型二】 确定实际问题中函数解析式的取值范围

 水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升．

(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；

(2)7：55时，水箱内还有多少水？

(3)几点几分水箱内的水恰好放完？

解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)当7：55时，t＝55－30＝25(分钟)，将t＝25分钟代入(1)中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即可．

解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)；

(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25分钟时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；

(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．

三、板书设计

1．函数的概念

2．函数自变量的取值范围

使函数有意义的自变量取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．

3．函数值

在教学过程中，注意通过对以前学过的“常量与变量”的回顾与思考，提供生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣；并通过层层深入的问题设计，引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动，在活动中归纳、概括出函数的概念；并通过师生交流、生生交流、辨析识别等加深学生对函数概念的理解．