28．1锐角三角函数

第3课时  特殊角的三角函数

1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)

2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)

3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)

一、情境导入

问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？

问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．

二、合作探究

探究点一：特殊角的三角函数值

【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算

 计算：

(1)2cos60°·sin30°－sin45°·sin60°；

(2)cos60°＋cos45°(sin30°－sin45°).

解析：将特殊角的三角函数值代入求解．

解：(1)原式＝2×2(1)×2(1)－×2(2)×2(3)＝2(1)－2(3)＝－1；

(2)原式＝2()＝2－3.

方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．

变式训练：见本课时练习

【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围

 若cosα＝3(2)，则锐角α的大致范围是(　　)

A．0°＜α＜30°  B．30°＜α＜45°

C．45°＜α＜60°  D．0°＜α＜30°

解析：∵cos30°＝2(3)，cos45°＝2(2)，cos60°＝2(1)，且2(1)＜3(2)＜2(2)，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.

方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．

【类型三】 根据三角函数值求角度

 若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是(　　)

A．20°  B．30°  C．40°  D．50°

解析：∵tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝3(3).∵tan30°＝3(3)，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.

 　　方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．

变式训练：见本课时练习

探究点二：特殊角的三角函数值的应用

【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长

 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．

解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．

解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝AB(BC)，即BC＋4(BC)＝3(3)，解得BC＝2(＋1)．

方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．

变式训练：见本课时练习

【类型二】 判断三角形的形状

 已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)²＋|sinB－2(3)|＝0，试判断△ABC的形状．

解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．

解：∵(1－tanA)²＋|sinB－2(3)|＝0，∴tanA＝1，sinB＝2(3)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．

方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.

变式训练：见本课时练习

【类型三】 构造三角函数模型解决问题

 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝，∠ABC＝30°，∴tan30°＝BC(AC)＝3(1)＝3(3).在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．

解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝BC(CD)，tan75°＝CD(BC)求出即可．

解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－.在Rt△ADE中，DE²＋AE²＝AD²，x²＋(2－)²＝(1－x)²，解得x＝2－3，∴tan15°＝3(3－3)＝2－，tan75°＝CD(BC)＝－3(3)＝2＋.

方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

三、板书设计

1．特殊角的三角函数值：

2.应用特殊角的三角函数值解决问题．

    课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.