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如何实施数学概念课教学

文•孙道斌

数学概念教学的目的是帮助学生获得数学概念、理解数学概念、运用数学概念，并在这个过程中学习数学方法、领悟数学思想、感受数学文化.概念教学过程是一个“重新构建”的过程，是一个“意义赋予”的过程.概念教学应帮助学生把抽象的数学概念与学生已知的知识和经验联系起来.因此，数学概念的教学过程宜分以下三个阶段进行.

一、概念的引入

概念的形成是一个积累渐进的过程，因此在概念的教学中要遵循从具体到抽象、从感性认识到理想认识的原则.学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维过度的，这种过度在很大程度上还是依靠丰富的感性材料.所以数学概念不是靠教师讲出来的，而是靠学生自己去感悟、体验的.

初中数学概念，有一部分来源于生产和生活实际，一部分来源于数学本身内在需要.所以教学中要重视概念的引入，让学生明确引入概念的必要性.一般情况下，数学概念的引入有以下五种方法.

1.用实例、实物或模型引入概念

我们知道，形成数学概念的首要条件是使学生获得丰富且符合实际的感性材料.因此在进行概念教学时，应密切联系概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，使学生在观察有关的实物、图示、模型的同时，获得对于所研究对象的感性认识，在此基础上，逐步认识它的本质属性，并提出概念的定义，建立新的概念.这些实际事物，可以就地取材，就近举例，以学生熟悉或比较熟悉的事物为宜.例如，“射线”可用手电筒或探照灯射出来的光束来引入；“平面直角坐标系”可用电影票上的排号和座号来引入；再如在讲线线垂直的概念时，先让学生观察教室或生活中的各种实例，再模拟出线线垂直的模型，抽象出其本质特征，概括出线线垂直的定义，并画出直观图，即沿着实例、模型、图形直至想像的顺序抽象成正确的概念；等等.这样设计，不仅使引出的新概念水到渠成，而且让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测，使学生经历数学家发现新概念的最初阶段，容易激发学生的探索欲望.同时，也体现了数学课程标准中“内容的呈现应采用不同的表达形式，以满足多样化的学习需要”这一理念要求.

2.在学生原有的基础上引入新概念

任何数学概念必定有与之相关的最近概念，因此教学中要以学生已掌握了的知识为基础，引导学生探求新旧概念之间的区别与联系.而这种区别与联系体现在概念的种属关系上. 在概念的种属关系中，种概念的内涵在属概念的定义过程中已经部分地被揭示出来，所以只要抓住种概念的本质特征（即种差）进行讲授，便可以使学生建立新概念.这便是数学概念最普遍和最常用的一种定义方法——“属+种差”定义法.用这种方法定义概念，要做好两方面的工作：一是找出被定义的临近的属；二是确定种差，即找出被定义概念所反映出的事物区别于包含在同一属中的其它概念所反映的本质属性.例如，在学习了“等式”之后，可以给出“方程”的定义；在学习了“线段”的定义之后，可介绍“弦”、“直径”等概念；在学习了“平行四边形”之后，可以学习“矩形”、“菱形”和“正方形”.

3.用类比的方法引入概念

类比不仅是一种重要的思维形式，也是引入新概念的一种重要方法.例如，可以通过同类项的定义类比地归纳出同类二次根式的定义，通过类比分数得到分式的概念，类比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函数等概念.作这样的类比更有利于学生理解和区别概念，在对比之下，既掌握了概念，又可以减少概念的混淆.

4.由数学本身内在需要引入概念

由数学本身内在需要出发引入新概念也是引入数学概念的常用方法之一，这样的例子比比皆是.例如，整个数学的建立过程就体现了这一点：在小学学习“算术数”（包含自然数、正分数和正小数）的基础上，为了解决“算术数”减法中的问题，必须引入负有理数概念，从而使数的外延扩展到有理数.

5.让学生亲自做试验，体验概念的形成

G·波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门试验性科学.”因此培养学生的数学素养，就要重视在教学中充分体现它的两个侧面，即内容形式化、抽象化及观察的具体化、经验化，而后者对基础教育尤为重要.

在教学中可借助富有探究性、挑战性的问题，让学生在试验中亲自体验数学概念，通过自己的思考建立起对概念的理解，逐步认识概念的本质.例如研究“几何概型”时，可让学生亲自作转盘实验，了解到指针指向转盘圆周上每一点的可能性都是一样的，而“指针指向某奖品区A的弧上一点”这一事件发生的概率只与A的几何度量成正比，而与A的形状和位置无关，从而顺利理解几何概型的概念.研究圆的概念时，可让学生动手做实验，取一条定长的细绳，把它的一端固定，另一端栓一支铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出圆.学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出圆的定义.在实验的过程中，由学生亲身体验形成的概念会让学生理解更深刻，记忆更牢固，兴趣更浓厚.

二、概念的形成

数学中的概念，是人们在长期的生产实践中，抓住事物的本质而总结出来的.在概念的引入阶段，学生只能对概念有一点肤浅的认识，因此在这一阶段，我们必须注重概念的形成过程，对概念的属性剖析彻底，然后用定义将其揭示出来.

1.注重概念的形成过程

在教学过程中，如果忽视概念的形成过程，把形成概念的生动过程变为简单的“条文加例题”，对概念的理解是极为不利的.注重概念的形成过程可以完整、内在地揭示概念的本质属性，使学生具备对概念理解的思想基础，同时也能培养学生从具体到抽象的思维能力.

例如，单项式概念的建立，展示知识的形成过程如下：

2.分析概念的含义，剖析概念的本质

数学中的概念大多数是通过定义描述给出它的确切含义.对于这类概念要抓住它的本质属性.对概念的深层次认识必须从概念的内涵和外延上做深入的剖析，剖析概念的内涵和外延就是抓住概念的本质属性.

以三角函数为例，可抓住正弦函数进行剖析，正弦函数涉及到比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识.正弦函数的值本质上是一个“比值”.为了突出这个比值，剖析如下：

3.举正、反例，弄清概念的内涵和外延

在形成概念的抽象规定前，主要是为了让学生获得概念的内涵，所出现的实际例子中的一些与概念本质无关的性质会对概念的建立起心理上的干扰作用.因此，在这一阶段，教师在教学中应注意减弱干扰，使概念清晰体现，使学生不至于被细节迷惑.而当概念建立起来后，要让学生搞清楚概念的外延，在这一阶段，就要增强干扰，使学生从复杂的实例中分离出概念的本质.通过举例可以促使抽象的定义和具体的实例有机结合，可以消除歧义，克服片面性，从而加深对概念的理解.

例如，因式分解可举下例.

4.抓住概念间的联系和区别

数学概念本身孤立的，存在着横关系和纵关系. 横关系多表现为并列关系，应利用对原有概念的理解，区分混淆的概念；纵关系多表现为从属关系，应启发学生进行系统归纳，让学生明确概念间的联系和区别.

例如，点到直线距离的概念，应与两点间距离的概念比较找出其共同点和不同点：共同点是这两个距离都指相应的两点间的线段长，不同点是相应两点的取法不同，点到直线的距离的两点指直线外一点与表示垂足的点.对于同种概念的比较，要通过分析抓住其本质特征，以求对概念的通彻了解.

三、概念的运用

由于数学概念具有高度的抽象性，这就为理解掌握它带来了一定的难度，再加之数学概念较多，不易于记忆.因此，巩固数学概念就显得很重要.例如，在给出了正弦函数的概念之后，为了让学生从本质上掌握这一概念，可以让他们解答下面的题目：

关于数学概念的教学，一直是教师进行研究中的一个重要课题.由于数学概念种类繁多，关系复杂，其本质属性各有千秋，从而形成较多的定义方式.可以说，对于以不同的定义方式揭示其本质属性的数学概念，其教学的“程序”也不一样.以上只是一种普遍现象，对某些概念的教学不一定适用.因此，在教学实践中，应不断加强教学研究，加强学术交流，不断提高数学概念的教学质量，从而提高数学素质教育的质量，也为学生进一步学习数学知识打下扎实的基础.