概念教学——回归本源的厚重

——《因数和倍数》教学设计与反思

华中科技大学附属小学   冯胜

【学情分析】

“因数和倍数”是人教版《义务教育课程标准实验教材．数学》五年级下册第二单元第一课时的内容。本节课是学生在学习了整数的计数和整数的四则运算的基础上进行教学的，它是以后学习 “2、3、5的倍数特征”和“质数、合数”，特别是约分、通分、分数运算的基础。教材没有以“整除”概念为基础引入因数和倍数，而是在直观的基础上，借助整除的模式na=b直接引入因数和倍数的概念。

由于学生在学习认识乘法时，知道“乘法算式中有因数”；在学习除法时，知道“除法中的商是倍数”。学生这些已有的知识和经验，对于本课的学习有负迁移的影响。

【三维目标剖析】

1．引导学生认识和初步理解因数和倍数，体会一个数的因数和倍数之间相互依存的关系。

2．引导学生发现并掌握求一个数因数和倍数的方法，发现一个数的因数和倍数的基本特点。

3．经历因数和倍数的学习过程，培养学生数学思维的有序性，体会数学的奇妙。

【教学法说明】教具及信息技术设备设置说明，所有应用环境及软件的说明；

基于，以上对教材和学情的分析，结合教材的编排特点，我们认为在本课教学中应体现以下几点：

一是利用教材中的飞机图中蕴含的每行飞机的个数、飞机的行数以及总个数三者之间的关系帮助学生体会因数和倍数的含义、相关依存的关系以及它们反映出来的非零自然数之间的关系。

二是让学生在找因数和找倍数的过程中，进一步体会因数和倍数的含义，运用有序思考的方法找因数和倍数。

三是因为“因数”和“倍数”是抽象的数学概念，要激发学生的学习热情，创设形式多样的学习活动，改善学生的学习方式。

在信息技术的使用方面，运用PPT演示直观形象的特点，帮助学生理解因数和倍数之间的关系，直观感受找因数、找倍数的方法。

【教学过程】

一、谈话引入。

师：同学们，老师给大家带了一句名言。数学家高斯说：“人们通常把数学比作科学的皇后，而专门研究自然数性质的数学分支——‘数论’，则是数学皇后头顶上的皇冠。”研究数论中最最基础的知识就是因数和倍数。今天这节课我们学习因数和倍数。（板书课题：因数和倍数）

二、认识因数和倍数。

1．情境引入：什么是因数和倍数呢？我们从这幅图开始研究起，你能用乘法算式表示飞机的数量吗？ （6×2=12或2×6=12）

2．引导思考：这三个整数之间有什么关系呢？

（1）师：我们可以说2是12的因数，反过来，12就是2的倍数。

    启发思考：6和12之间有怎样的关系？

    生：6是12的因数，12还是6的倍数。

（2）归纳：这三个整数之间的关系概括起来可以这样说，2和6是12的因数。12是2的倍数，也是6的倍数。

3．变换情境：这些飞机改变了队形。用又该用怎样乘法算式表示？（3×4=12或4×3=12）

（1）提问：在这个乘法算式中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数？

师生交流：3和4也是12的因数，12是3和4的倍数。

（2）质疑：我们能不能单独说3是因数，12是倍数？

生：应该说3是12的因数，12是3和4的倍数。 （为什么不行？）

师：看来，在讨论因数和倍数的关系时，要说清谁是谁的因数，谁是谁的倍数。因数和倍数之间是一种相互依存的关系。（板书：相互依存）

4．启发思考：12还有其他的因数吗？你是怎样知道的？

师生交流：因为1×12=12，所以1和12也是12的因数，12是1和12的倍数。

    师：你不仅根据乘法算式找出了一对因数，而且发现了12是12的因数，也是12的倍数。

5．质疑与发现：12的因数就这些吗？有一位同学说“2.4×5也等于12”。我可以说2.4和5是12的因数吗？

    师：请同学们注意了，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）。（板书：范围：整数（一般不包括0））

6．小结：我们通过这三道乘法算式认识了因数和倍数，知道12的因数有1，12，2，6，3，4。反过来，12就是它们的倍数。

7．判断下面的说法是否正确。并说明理由。（说法正确的用“√”表示，错误的用“×”表示。）

（1）5×0.8=4，所以5和0.8是4的因数，4是5和0.8的倍数。（   ）

（2）4是因数，5也是因数，20是倍数。（   ）

（3）72是8的倍数。（   ）

（4）18的因数只有2和9。（   ）

引导学生理解：（1）在研究因数和倍数的研究范围是整数（一般不包括0）；（2）因数和倍数之间关系是互相依存的；（3）通过72=8×9和72÷8=9，都可以知道8和9是72的因数，72是它们的倍数。

师：2和9是18的因数。但是，18还有其他的因数。18的因数到底有哪些呢？

三、求一个数的因数和倍数。

（一）求一个数的因数。

1．提出问题：18的因数有哪几个？

2．学生独立完成，小组交流，教师巡视指导。

展示学生几种答案：①2，3，6，9；②1，18，2，9，3，6；③1，2，3，6，9，18

3．汇报交流：（1）你们对这三种答案有什么建议？

                 （2）你是怎样找18的因数的？找的时候，你是怎样想的？

     师生交流：找18的因数时，想18可以由哪几个整数相乘得到？因为18=1×18，18=2×9，18=3×6，所以18的因数有1，18，2，9，3，6。

     引导学生发现：我们找18可以等于那两个整数相乘时，是按一定顺序一对一对地找。

师：书写因数的时，为了体现数学的有序和美观，我们按从小到大的顺序书写。

4．18因数的集合：既然这些数都是18的因数，我们可以用一个集合圈把它们圈起来，这个圈中的数都是18的因数。

5．反馈练习：

教材第13页做一做：30的因数有哪些？36呢？

（1）学生独立完成，教师巡视指导。

（2）汇报交流：

学生反馈：你找到的因数有哪些？

启发思考：找30的因数时，你想到那两个数相乘时就停止了？36呢？

师生交流：（1）找30的因数时，你想到5和6相乘等于30就停止了。找36的因数时，你想到6和6相乘等于36就停止了。（2）36的因数中，6和6是两个完全一样的因数，只写一个就可以了。

6．方法小结：在找因数的时候，你们有什么方法保证既准确又全面？

归纳小结：按照一定的顺序一对一对地找，一直找到两个因数比较接近或相等为止。

7．一个数因数的特点。

（1）问题：同学们，我们看这三个数的因数，比较一下，它们有什么相同的地方？

引导思考：既然有最小的因数，那样就有最大的因数，它们最大的因数是谁呢？

（2）师生交流：一个数的因数中，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

（3）归纳小结：虽然它们的因数有多有少，但都在1和它本身之间，因此，一个数的因数的个数是有限的。

过渡：我们会找因数了，怎样找一个数的倍数？一个数的倍数又具备哪些特点呢？

（二）求一个数的倍数。

1．提出问题：你们能找出多少个2的倍数？

2．学生独立完成，教师巡视指导。

3．汇报交流：

（1）你已经写出2的倍数有哪些？（如2，4，6，8）

（2）你是怎样想到这些数是它的倍数的？

生：2×1=2，2×2=4，2×3=6，……

师：你们是把2从1开始依次乘这些整数。

追问：这样的乘法算式写得完吗？（也就是2的倍数也写不完）

生：写不完可以用省略号表示。

4．2的倍数的集合：这些数都是2的倍数，所以我们用一个集合圈把它们圈起来，表示它们是2的倍数。

5．反馈练习：教材第14页做一做。

（1）做一做的第一题：用箭头表示出3的倍数。

①想象一下3的倍数有哪些？

②提问：3的倍数该怎样在数轴上表示呢？（从0开始依次增加3画一个箭头）

③启发思考：20以内3的倍数有哪些？

     师生交流：20以内3的倍数是有限的。

④师：这条数轴是无限延长的，想象一下3的倍数有多少呢？（无限个）

（2）口答：5的倍数有哪些？

6．一个数倍数的特点。

（1）启发思考：一个数的因数有最小的因数还有最大的因数，一个数的倍数有最小的倍数和最大的倍数吗？

师生发现：一个数的倍数中，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

（2）师生归纳：一个数的倍数有许许多多，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，也就是一个数的倍数的个数是无限的。

【教学评价方案】

1．写出自己学号的因数和倍数。

2．请学号是6的倍数的同学站到讲台上。再请学号是6的因数的同学站到讲台上。

师生发现：6既是自己的因数还是自己的倍数。

3．引导思考：6的因数有1，2，3，6。这4个数之间有怎样的关系呢？

     交流：1+2+3=6，又回到了6本身。

     师：这样的数叫什么名字呢？（完美数也叫完全数，6就是最小的完美数）

    4．验证联系自己的学号是完美数吗？

（1）在全班的学号中，我们只发现6和28是完美数。

（2）师：较小的几个完美数分别是496，8128，33550336和8589869056。到2004年数学家在无穷无尽的自然数里，一共找出了40个完美数。可想而知，数学家付出了多少心血啊！在数学的学习过程中，我们应该学习数学家不断探索的精神！

5．提出问题：你们能结合学号，运用今天所学的因数和倍数的知识说一句话让全班同学起立吗？（请学号是1的倍数的同学起来。）

【教学反思】

“因数和倍数”这一数学概念，在传统教材中以“整除”概念为基础引出数学化的定义，而现行教材中没有数学化的定义，取而代之的是借助乘法算式直接引出因数和倍数的概念。如何帮助学生有效地建立因数和倍数的概念，发挥概念教学的功能促进学生思维发展呢？我们从凸显数学本质和促进思维发展两个维度进行了教学实践，以此体现回归数学概念的本源，体现概念教学的厚重。

一、把握概念本质，帮助学生理解数学概念。

数学概念都有其本质属性和概念的内涵与外延。只有让学生对数学概念的内涵与外延有了清晰的认识，学生才能对概念的细节把握更加准确，理解概念的本质。那么，因数和倍数的本质属性是什么呢？我们认为“整除”，教材虽然没有给出“整除”的数学化定义，并不是说它不重要，“整除”是这个单元的核心概念，后面一系列的相关概念都是以它为前提的。为了帮助学生理解这一点，我们创造性的使用了教材，当学生说出乘法算式6×2=12后，没有直接引导学生认识“2和6是12的因数。12是2的倍数，也是6的倍数。”。而是先让学生认识2和12之间的关系，再发现6和12之间的关系，最后将三个整数之间的关系概括起来。在新课伊始，这样的处理不仅帮助学生认识因数和倍数是两个整数之间的关系，更帮助学生渗透了“整除”的意识。为了进一步强化这种“意识”，出示了“72是8的倍数。”引导学生判断对错，学生在交流过程中认识到“通过72=8×9和72÷8=9，都可以知道8和9是72的因数，72是它们的倍数。”发现乘法和除法之间是一种互逆的关系，但都可以研究因数和倍数的关系。究其原因是因为8能整除72，这种“意识”又一次得到了渗透。

为了更好地理解因数和倍数的内涵，我们运用“反例”，对其本质属性进行变化，在与正例的比较中，以正激反，从反面突出内涵。如在认识因数和倍数中，通过质疑“我们能不能单独说3是因数，12是倍数？”发现因数和倍数之间是一种相互依存的关系；另外当学生发现12的全部因数后，通过质疑“2.4×5也等于12。我可以说2.4和5是12的因数吗？”，学生联系生活实际说“没有2.4架飞机啊！”，教师顺势强调因数和倍数的研究范围是“整数（一般不包括0）”。在认识因数和倍数后，又运用两道判断题再次帮助学生强化对“研究范围”与“依存关系”的认识。

在本课的教学过程中，求一个数的因数和倍数则是在运用因数和倍数中深化理解，拓展对因数和倍数的认识。在教学找18的因数过程中，在学生自主探索找出18的因数后，组织学生交流找18的因数的方法，学生在交流中逐步理解找18的因数就是想那两个整除相乘等于18，这一过程不仅引导学生知道了找因数的方法，更深化了学生对因数认识。找倍数的目的也是深化学生对倍数的认识。不论何种概念，学生的认识一次到位。如果仅依靠强化是难以奏效的，需要在知识应用中，加强对数学概念的理解。

二、感悟思维方式，帮助学生提高学习能力。

数学有独特的思维方式和学习方法，在数学概念的学习过程中尤其突出。在本课的教学中，我们渗透合适的探究方法，让学生感悟其思维方式，提高数学学习能力。具体做法是：（1）在认识因数和倍数的过程中，首先借助飞机列队的直观模型，列出2×6=12和3×4=12这样的乘法算式来认识2、6、3、4都是12的因数，12是它们的倍数，接下来引导学生思考12还有其他的因数吗？让学生摆脱直观模型，引导学生利用因数和倍数的意义来找12的因数。在教师的追问下，学生认识到因为1×12=12，所以1和12也是12的因数。虽然没有让学生抽象、概括出形式化的因数和倍数的定义，但是引导学生从直观具体向抽象概括的过渡，此时学生的思维方式主要是抽象和概括。（2）当学生找出18的因数后，没有停留于结果的发现，而是关注过程的价值。引导学生发现“找18可以等于那两个整数相乘时，是按一定顺序一对一对地找”。这样帮助学生感受有序思考的方法保证了结果的准确和全面。（3）在找到18的因数后，有位学生说：“我发现一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身”。其实，这位学生说的正是因数的特点，概括的也非常好！作为老师，心中非常高兴！但是，这一个孩子的认识能代表全体学生的认识吗？或许，这个学生的发现是提前预习或是通过其他途径知道的，还并不理解呢？我们认为发现因数特点的教学有这样的两个价值，一是让学生发现和知道因数的特点，为以后的学习奠定基础，这是知识层次的价值，二是发现因数特点的过程，是通过观察多个数的因数特点的基础上，归纳概括出来的。实际上就是，运用不完全归纳法进行推理概括出多个数的因数的共同特点。这也是数学学习的一种重要学习方式——合情推理。因此，我说：“老师很欣赏你的发现！它是一个重要的猜想，其他数的因数也有这样的规律吗？需要我们再来验证！”接下来，在学生找出30和36的因数后，引导学生观察发现一个数因数的特点，证明猜想是正确的。（4）在发现倍数的特点时，没有直接从具体例子中发现共同特点，而是借助因数的特点引导学生类推出倍数的特点。在教学过程中，提出了“一个数的因数有最小的因数还有最大的因数，一个数的倍数有最小的倍数和最大的倍数吗？”这样的问题启发学生积极思考，猜想一个数倍数的特点，再通过具体的实例加以验证。

在本节课的教学过程中，潜移默化地引导学生运用了比较、抽象、概括、类比、不完全归纳等数学思维方式，渗透了较好的数学学习方法，提高了学生的数学学习能力。

三、渗透数学文化，帮助学生提升数学素养。

作为人类文化的重要组成部分的数学内涵十分丰富，作为数学重要组成部分的数学概念更为突出。怎样发挥数学的文化功能帮助学生提升素养呢？在本课中进行了一些尝试。在引入因数和倍数概念前，介绍了著名数学家高斯关于“数论”的评价，帮助学生认识到学习因数和倍数的必要性，这样做既可以激发学生的学习兴趣和探索新知识的强烈愿望，又能丰富学生的数学知识，还能激活学生的思维。在游戏环节中，引导学生发现完美数，不仅让学生体验了完美数的独特之处，而且让学生体会到完美数的探索是一个复杂、繁琐的过程，丰富了学生的情感体验，培养了学生克服困难、积极探索的学习品质。

“因数和倍数”是小学数学中极其抽象，学生难以理解的数学概念。如何在简洁的教学环节，体现数学概念教学的厚重呢？我们力图在回归数学本质上形成有效教学策略，力图在启发数学思维中提升数学学习能力等方面进行了一些思考和探索。