二元一次方程与一次函数教学设计

 一次函数与二元一次方程（组）             

一、学情分析：

通过以前几天学习二元一次方程组基本了解一次函数及其图像的基础知识，能够根据已知条件准确画出一次函数图象，已经具备了函数的初步思想，加深对“数”和“形”间的相互转化的认识．

二、 学习目标：

    1.探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想.

2.初步理解二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系；

3.掌握二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系，通过对两种模型关系的理解解决问题；

4利用二元一次方程确定一次函数的表达式。

教学重点

二元一次方程和一次函数的关系.

教学难点

     通过对数学模型关系的探究发展学生数形结合和数学转化的思想意识．

四、教法学法

1．教法学法

启发引导与自主探索相结合．

五、教学过程

   第一环节: 探究二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系

1.  某水池有10吨水,若用水管向外排水,每小时排水1吨,则X小时后还剩余Y吨水.

（1）  请找出自变量和因变量

（2）  你能列出X,Y的关系式吗?

（3）  X,Y的取值范围是什么?

（4）    在平面直角坐标系中画出这个函数的图形.

2.  结合课本内容列出

（1）方程x+y=5的解有多少个？你能写出这个方程的几个解吗？

  （2）．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数Y=5-X的图象上吗？

  （3）．在一次函数y=的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？

  （4）．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=的图像相同吗？

x+y=5与 y=­表示的关系相同

一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．

目的：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=­相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系．

前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系．顺其自然进入下一环节．

第二环节 自主探索方程组与一次函数两种数学模型之间的关系

探究方程与函数的相互转化

1．两个一次函数图象的交点坐标是相应的二元一次方程组的解

（1）一次函数y=5-x图象上点的坐标适合方程x+y=5，那么一次函数y=2x-1图象上点的坐标适合哪个方程？

（2）两个函数的交点坐标适合哪个方程？

（3）．解方程组验证一下你的发现。

        练习：随堂练习1 。巩固由一次函数的交点坐标找相应的二元一次方程组的解。

2．二元一次方程组的解是相应的两个一次函数图象的交点坐标。

（1）解

（2）以方程x+y=2的解为坐标的点在哪个一次函数图象上？

（3）以方程2x+y=5的解为坐标的点在哪个一次函数图象上？

（4）方程组的解为坐标的点在图象上是哪个点？

（5）方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？

目的：通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程组的解）与“形”（两条直线）两种模型之间的对应关系，

由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．

练习：知识技能1。巩固由方程组的解求相应的一次函数的交点坐标。更深入的体会二元一次方程组的解与一次函数交点坐标之间的对应关系。

第三环节模型应用

1．为了倡导节约用水，每户居民每有用水标准为8立方米，超过标准部分加价收费同，已知一用户两个月用水量和水费分别是11立方米，28元和15立方米，44元。

（1）  请问标准内水价和超过标准部分的水价分别是多少?

（2）  你是怎样做的？与同伴交流.

第四环节 实例讲解

想一想

内容：在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象（教材124页图5-2）有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？

二元一次方程的解和相应的两条直线的关系．

（1）观察发现直线平行无交点；

（2）小组研究计算发现方程组无解；

（3）从侧面验证了两直线有交点，对应的方程组有解，反之也成立；

（4）归纳小结：两平行直线的相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解。

通过想一想，将两直线的另一种位置关系：平行与方程组无解相结合.一般地，从图形的角度看，确定两条直线交战的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。

强调两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性．

第五环节 课堂小结

1．二元一次方程和一次函数的图像的关系；

以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；

一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．

2．方程组和对应的两条直线的关系：

方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；

两条直线的交点坐标是对应的方程组的解；

第六环节  作业布置

课后题（加星号的让学生分组讨论)