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教学中通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短

重点

应用所学知识解决最短路径问题．

难点

选择合理的方法解决问题．

一、创设情境

多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径．

这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径．那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？

二、自主探究

探究一：最短路径问题的概念

1．多媒体出示图①和图②，提出问题：

(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？

2．教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题．

探究二：河边饮马问题

多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？

提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？

思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？

教师引导学生讨论，明确找点的方法．

让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明．

教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨．

探究三：造桥选址问题

多媒体出示问题2.(教材第86页)

提出问题：

(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？

(2)这个问题有什么不同？

(3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？

学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN＋NB最小．

尝试选址作出图形．

多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程．

根据问题1和问题2，你有什么启示？

三、知识拓展

已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？

[让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较]

四、归纳总结

1．本节课你学到了哪些知识？

2．怎样解决最短路径问题？

反思：以上通过对各种最短路径情况的探索，让学生明白最短路径的寻找就是比较出来的。