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《指数函数与性质》（第一课时）教学设计案例

鄢兴  贵州省盘州市第一中学  553500

在新课程认为学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过教师的指导和同学的帮助，主动建构知识而获取进步。这里强调以学生为中心，学生的认知为主体，教师仅对学生起促进的作用而达到的高校课堂。本案例对《指数函数与性质》一节，做简要探讨。

一、教学背景分析

   本节教材选自本课是人教版数学必修1 第二章《基本初等函数（I）》单元的2.1.2《指数函数及其性质》 ，本节内容是在指数范围扩充到实数的基础引入指数函数的，指数函数是在九年义务教育阶段已经初步探讨了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数的图像和性质的基础上，在进一步学习函数的概念及有关性质的前提下，去研究学习高中的第一种具体的函数，本节内容在函数的学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义和地位。如何突破这既重要有抽象的内容，其实质就是将抽象的数学符号语言与直观的图像语言进行有机的结合，激发学生的求知欲望和好奇心，本节意在让学生通过这个具体的函数从不同的角度去研究，对函数进行一个全方位的研究，以至迁移到对数函数，幂函数等其他函数的研究中去。

 二、学生学情分析

     进入高中阶段，学生具备一定的分析、观察等能力，在此前学生已经熟练掌握正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数的图像和性质等内容，有强烈的求知欲，但在动手操作和想象能力上相对不足，合作学习等方面发展不均衡。

三、教学教法分析

本节主要利用和借助实物、图片、模型、多媒体教学设备等进行具体形象的较正确地、较充分地体现出教和学这对矛盾在发展中的关系促进教学，即是通过直观教学法、启发发现法、课堂讨论法的方法开展教学。

 四、教学目标和重难点

知识与技能：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图象和性质。

过程与方法：培养学生数形结合的意识，提高学生观察、分析、归纳的思维能力。

情感、态度与价值观：对学生进行辩证唯物主义思想的教育，使学生学会认识事物的特殊性与一般性的关系，用联系的观点看问题。引导学生发现数学中的对称美、简洁美。

重点：在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。

难点： 对于a>1和0<a<1时函数值变化的不同情况，学生容易混淆，这是本节课的一个难点。

五、教学过程设计

第一环节：创设情境   形成概念

问题1：某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为2个，则1个这样的细胞第1次分裂后变为2个细胞，第2次分裂后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细胞……设第次分裂后得到个细胞，求关于的关系式。

问题2：质量为1的一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的50%，求这种物质的剩留量关于时间（单位：年）的关系式。

(1)         (2)     

思考：①   和这两个解析式有什么共同特征？

（均是幂的形式；底数是常数；指数是自变量）

②它们能构成函数吗？

③是我们学过的函数吗？如果不是，你能根据该函数的特征给它起个恰当的名字吗？

④你能根据上面两个函数关系给出一个一般性的定义吗？

（师：如果用字母代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成的形式）

【设计意图】由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题和探求新知能力．

第二环节：发现问题   探求新知

指数函数的概念：一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R

思考：在定义中，为什么要求且？

（引导学生讨论：且的理由）

注：规定底数且的理由

  ①若是一个常数函数，没有研究的必要性

②若当时，恒等于；当时，无意义；

③若,此如，当，等时，在实数范围内函数值不存在。

因此为了避免上述情况，规定且.

2、指数函数概念的强化

练习：下列函数中，哪些是指数函数？

    （1）    （2）  （3）

（4）  （5）（）

解：根据指数函数的定义可知：⑴、（5）是指数函数，其余不是指数函数

注：判断一个函数是否为指数函数且的依据：

① 底数：大于0且不等于1的常数.

② 指数必须是的形式（化简后是的形式）.

③前面的系数是1.

【设计意图】由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．使学生进一步理解指数函数的概念.

第三环节：课堂练习   共同提高

指数函数的性质：

思考：

（1）在研究函数时，一般要研究函数的哪些性质？

(定义域、值域、单调性、奇偶性、最值)

（2）用什么方法研究函数的这些性质？

（图象法：从图象的变化情况来看函数的性质；代数证明法）

（3）怎样才能得到指数函数的图象？

（列表、描点、连线）

（4）在同一坐标系下，作出函数，、 ，的图像。

（5）观察上述几个函数的图象，你能得到什么结论？能推广到一般情形吗？

指数函数的性质：一般，指数函数且图像与性质如下表所示：

【设计意图】通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋势，通过描点，作图培养学生的动手实践能力．不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程．培养学生的归纳概括能力．

第四环节：小结归纳   拓展深化

通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 你又掌握了哪些学习数学方法？ 你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？

例1：函数是指数函数，求的值

例2：已知指数函数的图象经过点.

求、、的值

例3：比较下列各题中的两个值的大小

①  与②与③与

小结：

① 构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指(包括可以化为同底的)，若底数是参变量要注意分类讨论。

②中间量比较法：用别的数如0或1做中间量。数的特征是不同底不同指。

变式训练：1、已知，则的大小关系是________

2、比较的大小关系，其中

例4：求下列函数的定义域

①   ②  ③  

思考：这几个函数的值域是什么呢？

【设计意图】巩固所学知识，培养学生的数形结合思想和创新能力． 

第五环节：布置作业   学以致用

必做题：让学生认识到除了通过观察图像，演绎推理也是研究数学常用的思想，将学生

思维引领向更高的层次。

选做题：体会指数的增长速度之快，同时让学生感受指数的用途，激发学生的兴趣。用

计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系，

（1）y=与y=.          

（2）y=与y=.

【设计意图】通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.

六、教学反思

本节通过对研究探讨一个新的函数模型——指数函数，在研究新认知的函数中的方法并引导学生把握研究的方法，激发学生的探究欲望，因此在教学设计中，五个环节层层深入，环环相扣，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动手操作，动眼观察，动脑思考，层层递进，学生亲身经历了知识的形成和发展过程，以问题为驱动，使学生对知识的探究由表及里，逐步深入，思考题又将激发学生兴趣，带领学生进入对指数函数更进一步的思考和研究之中，达到知识在课堂以外的延伸。充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构。为了突出本节课的重点，进行直观教学和启发为主结合的教学模式，通过动手操作变换几个特殊的指数函数，让学生学会对比和分类讨论的数学思想，一方面加强数学的基本功，另一方面其他知识有机的结合，使学生可以推广到今后的学习的领域中，为学生自主探究和发现创造条件，为培养学生的实践能力和创新能力，构建一个探索性的学习空间。