作业标题 ：剖析一道含参函数综合题 作业周期 : 2018-10-10 — 2018-12-30

作业要求 ：

评析一道“含参”函数综合题

——2018年宜昌市中考题压轴题

宜都市教研室  叶海波

中考压轴题通常是代数和几何的大综合，而近几年来各地中考题中含参数的函数综合题出现的频率更高.这类题的特点是比较抽象，重点考查学生对数形关系的理解和数式运算的能力，同时渗透高中参数方程的解题策略，体现初高中衔接和试题的选拔功能.针对这类命题方向和试题特点，反观我们的教学，有许多方面值得研讨.下面以2018年宜昌市中考题压轴题为例进行剖析：

一、考题、解题思路及思路剖析

题目：如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为

A（-6，0）,B（0，4）.过点C（-6，1）的双曲线                                               与矩形OADB的边BD交于点E.

（1）填空：OA=_____,k=_____,点E的坐标为_______；

（2）当时，经过点M（，）与点N（，）的直线交y轴于点F，点P是过M,N两点的抛物线的顶点.

①当点P在双曲线上时，求证：直线MN与双曲线没有公共点；

②当抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；

③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积.

（1）基础问题，不赘述解题思路.

（2）解题思路：设直线MN：

由题意得，解得

∴直线MN： 

∵抛物线过点M，N

∴，解得

∴抛物线解析式为 

思路剖析：应用待定系数法分别求得经过点M与点N的直线和抛物线的解析式，经历含参数的复杂运算得出.直线MN：，其解析式的特点是一次项系数为常数，常数项是关于t的二次式，联想图像特征直线MN随t的变化平行移动（始终与直线y=x平行）；抛物线解析式为其解析式的特点是二次项、一次项系数为常数，常数项是关于t的一次式，联想图像特征抛物线的开口方向和大小一定，对称轴为定直线，随t的变化抛物线上下平移.

①  当点P在双曲线上时，求证：直线MN与双曲线没有公共点；

解题思路：由抛物线得顶点P（-1，）

由题意得，解得

此时直线MN：，联立，转化为，进而得到

∴直线MN与双曲线没有公共点.

思路剖析：根据条件“点P在双曲线上”将参数t的值具体化，此时直线MN转化为一条确定的直线，再验证直线与双曲线的交点情况则属常规问题；

②  当抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；

解题思路：当抛物线过B点（如图2），此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，

则4=5t-2, ；

当顶点P在线段DB上（如图3），此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，

则，.

思路剖析：联系抛物线的特征结合矩形OADB的位置特点，想象出“只有三个公共点”的两种状态，在每种具体状态下求t的值则属常规问题.

③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积.

解题思路：

∵点P的坐标为（-1，）,

∴

当时，随着t的增大而增大，

此时，当时，随着t的增大，点P在直线x=-1上向上运动.

又∵点F的坐标为（0，）

∴

∴当时，随着t的增大而增大，

此时当时，随着t的增大而增大，点F在y轴上向上运动.

∴

当t=1时，直线MN：y=x+3与轴交于点G（-3，0），与y轴交于H（0，3）

当时，直线MN经过点A，

当时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为

思路剖析：结合直线和抛物线的解析式得到：点F（0，），点P（-1，）则，,在理解“点F和点P随着t的变化同时向上运动”的前提下，综合二次函数、一次函数的增减性以及题目设定的t范围，得出问题的结论；根据直线MN：解析式的特点结合上一问的结论：在t的变化范围内随t的增大而增大，即直线MN随t的增大向上平移，经历下面三种状态（t=1时（如图4）；直线MN经过点A，即时（如图5）；t=4时（如图6））.进而成型运动过程中直线MN在四边形OAEB中所扫过的图形（如图7），再求面积则属常规问题.

二、对试题的反思和教学思考

1.对本题结构的反思

本题的主体结构是：给出含参数的点的坐标——建立含参数的函数解析式——函数解析式的特点——函数图像的特征和性质——函数图像的位置随参数的变化而变化的趋势.其间要经历复杂的数式运算，要深入思考函数解析式的特点及其相应图像的特征和性质，要经历想象图像位置随参数变化而变化的全过程以及特殊位置情形下数量关系的把握.

2.“含参”函数综合题的特点

“含参”函数综合题重在考查函数本质，虽可能有部分图形，但对真正抽象的函数本源，往往缺少直观图像的辅助，多数学生很难准确分析函数解析式中的参数、常量及它们所带来的图像位置关系，以及图像如何随参数的取值变化而发生变化.诸多方面影响着解题方向的获得、解题思路的启示.

3.对“含参”函数综合题教学的反思

事实上中考中能够完全攻克“含参”函数综合题的学生较少，而能对含多个参数的函数综合题应付自如的学生更是凤毛麟角.这就促使我们思考调整教学，要把握时机尽早慢起步渗透参数方程的思想，要有意识结合教材上的例习题循序渐进地培养和提高.对多参数的“消元”或“减元”思想渗透和能力强化也要尽早抓.这些解题思想和能力的培养不可能靠毕业年级甚至最后的复习阶段一蹴而就.具体到对“含参”函数综合题的教学要引导学生明辨变量、常量与参数，包括解析式中的变量和参数、坐标中的参数等，这些变量、参数的明辨影响着思路的获取和求解方向.

发布者 ：叶海波