课题名称：正弦定理

姓名

严冬兵

工作单位

武大附中

年级学科

高一数学

教材版本

人教A版

一、教学难点内容分析（简要说明课题来源、学习内容、知识结构图以及学习内容的重要性）

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明

通过实际问题总结出数学问题，并运用数学知识解决实际问题。　根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点

二、教学目标（从学段课程标准中找到要求，并细化为本节课的具体要求，目标要明晰、具体、可操作，并说明本课题的重难点）

根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：

认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

能力目标：正弦定理是一节在实际生活中受到广泛应用的定理,通过定理的教学,不仅培养学生解三角形的应用能力,更重要的是提高应用所学知识解决实际问题的意识和能力；同时引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。

情感目标：通过感受数学美激发学生热爱科学勇于探索的精神，通过自主学习的发展体验获取知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征、辨证特征、开放特征。

三、学习者特征分析（学生对预备知识的掌握了解情况，学生在新课的学习方法的掌握情况，如何设计预习）

“学即为用，用则要学” 教会学生　　　指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

四、教学过程（设计本课的学习环节，明确各环节的子目标）

创设问题情境：如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出两点间A、C的距离55m，∠ACB=60⁰，∠BAC=45⁰求A、B两点间的距离。

引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法．

启发学生发现问题实质是：已知△ABC中∠A、∠C和AC长度，求AB距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边．

新知探究

1.提出问题：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢？ 

2.解决问题：

回忆直角三角形中的边角关系：

根据正弦函数的定义有：

，sinC=1。

经过学生思考、交流、讨论得出：

，

问题1：这个结论在任意三角形中还成立吗？

（引导学生首先分为两种情况，锐角三角形和钝角三角形，然后按照化未知为已知的思路，构造直角三角形完成证明。）

①当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有,。

由此，得 ，

同理可得 ，                                          

故有 .

从而这个结论在锐角三角形中成立.

②当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有， 。

由此，得 ，

同理可得

故有 .

由①②可知，在ABC中， 成立.

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即.

这就是我们今天要研究的—— 正弦定理       

思考：你还有其它方法证明正弦定理吗？（由学生讨论、分析）

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

S_△ABC=

两边同除以即得：==

证明二：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ  ∴

同理 =2R，＝2R

证明三：（向量法）

过A作单位向量垂直于

由　+=      

两边同乘以单位向量 得 (+)=

则+=

∴||||cos90°+||||cos(90°-C)=||||cos(90°-A)

∴   ∴=

同理，若过C作垂直于得： =  

  ∴==。

正弦定理：===2R（R是外接圆的半径）

变形：。

接着给出解三角形的概念：一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．

问题2：你能否从方程的角度分析一下，解三角形需要已知三角形中的几个元素？

问题 3：我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？

（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

3. 应用定理：

例1. 应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题.

题目见创设问题情境, 引导学生给出解决方法

例2.（1）在．

（2） 在．

解：（1）∵，

为锐角，

   ∴

（，而）

（2） 

，

变式训练：

根据已知条件,求解三角形

五、教学策略选择与信息技术融合的设计（针对学习流程，设计教与学的方式的变革，配置学习资源和数字化工具，设计信息技术融合点）

教师活动

预设学生活动

设计意图

创设问题情境：如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出两点间A、C的距离55m，∠ACB=60⁰，∠BAC=45⁰求A、B两点间的距离。

学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法．

引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法．

启发学生发现问题实质是：已知△ABC中∠A、∠C和AC长度，求AB距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边．

1.提出问题：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢？ 

问题1：这个结论在任意三角形中还成立吗？

思考：你还有其它方法证明正弦定理吗？（由学生讨论、分析）

问题2：你能否从方程的角度分析一下，解三角形需要已知三角形中的几个元素？

问题 3：我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？

经过学生思考、交流、讨论得出：

，

（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

经过学生思考、交流、讨论得出：

，

引导学生首先分为两种情况，锐角三角形和钝角三角形，然后按照化未知为已知的思路，构造直角三角形完成证明。

例1. 应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题.

题目见创设问题情境, 引导学生给出解决方法

例2.（1）在．

（2） 在．

例2.（1）在．

（2） 在．

解：（1）∵，

为锐角，

   ∴

（，而）

（2） 

，

题目见创设问题情境, 引导学生给出解决方法

六、教学评价设计（创建量规，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价）。也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价）

长期以来，我们的课堂教学太过于重视结论，轻视过程.为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化.在数学概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策.数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体.新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验.基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单地告诉学生正弦定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理，证明定理.从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过我的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事.在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题、解决问题的能力，培养了他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念.

七、教学板书（本节课的教学板书）

如板书中含有特殊符号、图片等内容，为方便展示，可将板书以附件或图片形式上传。