2.2.2　对数函数及其性质

教学分析

有了指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水到渠成．

对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的理解。研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出做一些准备．

重点难点

重点：对数函数的定义、图象和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．

难点：底数a对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明．

第1课时

导入新课

思路2．我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2^x表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x就是细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log₂y.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log₂x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课题：对数函数及其性质(1)．

推进新课

提出问题

(1)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的4(3)，写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的64(1)，则至少要漂洗几次？

(2)你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？

(3)为什么对数函数的概念中明确规定a＞0，a≠1?

(4)你能求出对数函数的定义域、值域吗？

(5)如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤．

活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．

讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的4(3)，则每次剩余污垢的4(1)，漂洗1次存留污垢x＝4(1)，漂洗2次存留污垢x＝，…，漂洗y次后存留污垢x＝，因此y用x表示的关系式是对上式两边取对数得，当x＝64(1)时，y＝3，因此至少要漂洗3次．

(2)对于式子，如果用字母a替代4(1)，这就是一般性的结论，即对数函数的定义：

函数y＝log_ax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，对数函数y＝log_ax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．

(3)根据对数式与指数式的关系，知y＝log_ax可化为a^y＝x，由指数的概念，要使a^y＝x有意义，必须规定a＞0且a≠1.

(4)因为y＝log_ax可化为x＝a^y，不管y取什么值，由指数函数的性质a^y＞0，所以x∈(0，＋∞)，对数函数的值域为(－∞，＋∞)．

(5)只有形如y＝log_ax(a＞0且a≠1，x＞0)的函数才叫做对数函数，

即对数符号前面的系数为1，底数是不为1的正常数，真数是x的形式，否则就不是对数函数．像y＝log_a(x＋1)，y＝2log_ax，y＝log_ax＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．

提出问题

(1)前面我们学习指数函数的时候，根据什么思路研究指数函数的性质，对数函数呢？

(2)前面我们学习指数函数的时候，如何作指数函数的图象？说明它的步骤．

(3)利用上面的步骤，作下列函数的图象：y＝log₂x，.[

(4)观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点？

(5)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？

(6)把y＝log₂x和的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？

(7)你能证明上述结论吗？

(8)能否利用y＝log₂x的图象画出的图象？请说明画法的理由．