等比数列教学设计

高中数学  樊志华

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的应用，如储蓄、分期付款的有关计算会用到等比数列前n项和的一些知识。

在数列的学习中，等差数列和等比数列是两种最重要的数列模型，并且等差数列与等比数列在内容上是完全平行的,包括定义、性质、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差（比）中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时可用对比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别。

【学情分析】教学对象是高中二年级学生，他们具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃，敏捷，但缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列的学习过程作对比，这是一种积极因素，应充分利用。但相比等差数列，等比数列中要注意的地方更多，比如说：等比数列的公比不能为零，等比数列的各项都不能为零等，这些细节学生容易忽略，通过本节课的学习，增强学生思维的严谨性。

【教学方法及设计意图】《新课程改革纲要》提出：“要改变课程实施过于强调接受学习，死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。针对这一目标，这节课做了如下设计：

（1）通过一个“折纸游戏”让学生从感性上认识等比数列，借助丰富的实例，使得学生加深对等比数列的认识。最终，通过学生的观察、分析、探讨得出等比数列的概念。并且借助这一过程使学生认识到数学来源于生活，经历观察现象，发现问题，总结归纳这一过程，促使学生形成善于观察，善于思考的好习惯。

（2）学生相互探讨，积极思考，以等差数列的通项公式的推导为参照物，探索等比数列的通项公式；通过与指数函数的图像类比，探索等比数列的通项公式的图像特征及指数函数之间的联系。通过这一过程锻炼学生的类比能力。

（3）让学生通过具体练习进一步体会从实际问题中抽象出等比数列模型，提高学生解决简单实际问题的能力。

本节课还渗透了一些数学思想方法,比如类比思想、归纳思想、一般到特殊的思想。

【三维教学目标】

知识与技能：通过实例,理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式、等比中项、图像特点,能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力.

过程与方法：通过现实生活中大量存在的数列模型,让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型,体会数学是丰富多彩的而不是枯燥乏味的,达到提高学生学习兴趣的目的.

情感、态度、价值观：通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的精神,严谨的科学态度.体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法,经历解决问题的全过程。

【教学重点】等比数列的定义和通项公式。

【教学难点】等比数列和指数函数之间的联系。

【教具】多媒体

【教学过程】

一、导入新课

情境一：做折纸游戏

首先教师提出问题：一张普通的A4纸，有人说至多只能折九次，你信吗？学生准备一张纸，动手实践，结果发现折不到九次就折不动了。这时，教师鼓励学生说明原因。学生讨论，教师作补充，共同分析厚度的变化，得出一个数列。教师提问：如果你能够对折50次，猜它的高度将是多少？学生纷纷猜测。最后揭示答案：可以在地球和月球之间建一座桥！师生结合刚才的数列得出高度为2h，并且发现数列的规律为：后项是前项的2倍。

【设计意图】以小游戏开头，且此结果出乎预料，提高学生学习兴趣。

情境二：阅读书本上给出的四个实际情景下的数列。

教师引入：很有规律的数列！生活中，还有这样的数列吗？

安排学生阅读课本，提炼数学模型。

【设计意图】培养学生重视教材的习惯，提高学生的阅读能力，体会数学源于生活的实际。体现由特殊到一般的数学思维模式。

预计用时：5分钟

二、新课讲解

（一）归纳上述几个数列共同的特点，类比等差数列给出等比数列的定义。

问题一：观察上述数列，你能发现它们存在什么共同的特征吗？能用语言来描述它吗？学生相互讨论，必要时教师启发学生类比等差数列概括出等比数列的定义和公比的定义。教师板书定义，共同讨论并纠正学生给出定义中的不足。

【设计意图】由几个具体数列提炼出定义，培养学生归纳总结的能力，类比等差数列下定义，增强学生的类比能力，体会数学知识之间的联系。让学生发表自己的见解，强化学生的主体地位，培养学生的语言表达能力。

课件展示：下列数列是否为等比数列，如果不是，请说明原因：

（1）3，3，3，3，

（2）2，0，2，0，

（3）2，4，8，24，72，

学生互相讨论，教师提问学生回答（1）（3），结合学生回答，在定义的相应部位用彩笔标注需要注意的地方：（1）比为同一个常数；（2）项不为零；公比不为零。

提问学生回答（1），引导学生发现（1）这个常数数列，既是等比数列，也是等差数列。教师追问：任意一个常数数列既是等比数列，也是等差数列吗？

【设计意图】结合练习找到定义中的需注意的点，讲练结合，使学生更好的掌握知识。预计用时：5分钟

（二）类比等差数列通项公式的推导过程，推导等比数列的通项公式。

问题二：根据定义，如果我们知道首项和公比，可以写出第二项、第三项等等，如果我们想得到第100项，虽然能得到，但是会费很大的功夫。这样就促使我们来研究等比数列的通项公式。那同学们能不能类比等差数列的通项公式的研究过程，来推导出等比数列的通项公式呢？

预计：学生可能想到的方法有三种：不完全归纳法，累乘法，迭代法。提问学生，展现学生风采。教师板书通项公式。

师生共同利用通项公式研究开头折纸问题。

板书：通项公式

【设计意图】培养学生自己解决问题的能力，变“要我学”为“我要学”。研究折纸问题，呼应开头，并实现对通项公式的简单应用，加深印象。

课件展示：

例1、一个等比数列的第5项是32，公比是2，求首项。

例2、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第一项和第二项。

预计：学生可能想到的例2的解法，一是利用方程的思想，二是利用等比数列的定义，三是利用等比中项的思想来做题，但现在还不知道等比中项的概念。

【设计意图】让学生熟悉等比数列的通项公式，并能灵活应用之。结合例2，锻炼学生思维的灵活性，并为引入等比中项的概念做铺垫，使知识点过渡自然。

预计用时：12分钟

（三）比照等差中项的定义，请学生自己总结出等比中项的概念。

通过刚才的例2，我们发现等比数列的第2项、第3项、第4项也是成等比数列的，那第5项、第6项、第7项呢？第n项、第n+1项、第n+2项呢？

学生简单考虑，就能回答出来。教师引导学生给出证明。

教师追问：这和以前我们学到的哪部分知识点有些相似呢？（生回答：等差中项）你能类等差中项的概念，自己给出等比中项的概念吗？

学生作答，教师补充并板书定义。

【设计意图】类比旧知识，探究新定义，提高学生的学习能力。

课件展示：

练习：1、判断：任意两个数都有等比中项。

追问：任意两个非零的数都有等比中项吗？

学生讨论作答，教师引导学生发现有等比中项的两个数符号必须一致。

2、填数，使下列几个数构成等比数列：

（1）1.（），16

（2）1，2，（），8，16

学生讨论作答，教师引导学生发现，等比数列中奇数项的符号一致，偶数项的符号一致。

【设计意图】通过练习，使学生发现定义中需注意的地方，加深对概念的理解。预计用时：5分钟

（四）学以致用，例题分析

例3、一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的首项和第4项。

例4：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？

【设计意图】例3加强学生对概念的理解，能够灵活运用公式；例4增强学生联系实际的能力，培养数学建模意识。

预计用时：6分钟

（五）探索等比数列通项公式的图像特征

问题四：《数学1》中也有“半衰期”的问题，还有“细胞分裂”、“复利计算”的练习，当时是用什么方法解决的？它和数列之间有什么样的联系？

带着问题布置学生做书上的“探究”（2），（3）。

启发学生将等比数列和指数函数的联系起来，让学生描点作图画出上述两组图像，然后交流、讨论、归纳出来两者的关系。复习等差数列通项公式的图像特征，作对比加深印象。

【设计意图】通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，揭示数学知识是相互关联的。启发学生从不同角度去看问题。

预计用时：5分钟

三、课后探究（数学兴趣小组课下活动）

课件显示

探究：做课后练习1，3，4，结合练习，类比等差数列的性质，自主研究等比数列的性质。

【设计意图】课后探究给学有余力的学生创造更广阔的数学空间。

预计用时：1分

四、小结。

【设计意图】预计用时：1分钟

五、作业

布置作业：课后习题2.4A组1，6，8题

【设计意图】1题锻炼学生的计算能力及对通项公式的应用，6题巩固对等差（比）中项的认识，8题综合考查本节课所学内容。