第一章 空间几何体

第1.1.1节 柱、锥、台、球的结构特征

【本节教材分析】

一、三维目标

1．知识与技能

（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法

（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观

（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点

重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具

（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）实物模型、投影仪

四、教学思路

（一）创设情景，揭示课题

1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。

2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

（二）、研探新知

1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？

3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。

4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？

请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？

6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。

8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。

9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。

10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？

【教学过程】

提出问题

1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？

图1

2.你能给出多面体和旋转体的定义吗？

活动：让学生分组讨论，根据初中已有的知识，学生很快就能分成两类，对没有思路的学生，教师予以提示.

1.根据围成几何体的面是否都是平面来分类.

2.根据围成几何体的面的特点来定义多面体，利用动态的观点来定义旋转体.

讨论结果：

1.通过观察，可以发现，（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16）具有同样的特点：组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形，像这样的几何体称为多面体；（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、（11）、（12）具有同样的特点：组成它们的面不全是平面图形，像这样的几何体称为旋转体.

2.多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.按围成多面体的面数分为：四面体、五面体、六面体、……，一个多面体最少有4个面，四面体是三棱锥.棱柱、棱锥、棱台均是多面体.

旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体.

提出问题

1.与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？

2.请给出棱柱的定义？

3.与其他多面体相比，图片中的多面体（14）、（15）具有什么样的共同特征？

4.请给出棱锥的定义.

5.利用同样的方法给出棱台的定义.

活动：学生先思考或讨论，如果学生没有思路时，教师再提示.

对于1、3，可根据围成多面体的各个面的关系来分析.

对于2,利用多面体（5）、（7）、（9）的共同特征来定义棱柱.

对于4,利用多面体（14）、（15）的共同特征来定义棱锥.

对于5,利用图片中的多面体（13）、（16）的共同特征来定义棱台.

讨论结果：

1.特点是：有两个面平行，其余的面都是平行四边形.像这样的几何体称为棱柱.

2.定义：两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.

表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱.

分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3.其中一个面是多边形，其余各面是三角形，这样的几何体称为棱锥.

4.定义：有一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.

表示法：用顶点和底面各顶点的字母表示.

分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……

5.定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点.

表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱台.

分类：按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……

提出问题

1.与其他旋转体相比，图片中的旋转体（1）、（8）具有什么样的共同特征？

2.请给出圆柱的定义.

3.其他旋转体相比，图片中的旋转体（3）、（6）具有什么样的共同特征？

4.请给出圆锥的定义.

5.类比圆锥和圆柱的定义方法，请给出圆台的定义.

6.用同样的方法给出球的定义.

讨论结果：

1.静态的观点：有两个平行的平面，其他的面是曲面；动态的观点：矩形绕其一边旋转形成的面围成的旋转体.像这样的旋转体称为圆柱.

2.定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，圆柱的侧面又称为圆柱面，无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.

表示：圆柱用表示轴的字母表示.

规定：圆柱和棱柱统称为柱体.

3.静态的观点：有一平面，其他的面是曲面；动态的观点：直角三角形绕其一直角边旋转形成的面围成的旋转体.像这样的旋转体称为圆锥.

4.定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，圆锥的侧面又称为圆锥面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线.

表示：圆锥用表示轴的字母表示.

规定：圆锥和棱锥统称为锥体.

5.定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台.还可以看成是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截面与底面之间的部分.旋转轴叫做圆台的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆台侧面的母线.

表示：圆台用表示轴的字母表示.

规定：圆台和棱台统称为台体.

6.定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体，简称球.半圆的圆心称为球心，连接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径.

表示：用表示球心的字母表示.

知识总结：

1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较，如下表所示:

结构特征 棱柱 棱锥 棱台

定义 两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体称为棱柱 有一面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台

底面 两底面是全等的多边形 多边形 两底面是相似的多边形

侧面 平行四边形 三角形 梯形

侧棱 平行且相等 相交于顶点 延长线交于一点

平行于底面的截面 与两底面是全等的多边形 与底面是相似的多边形 与两底面是相似的多边形

过不相邻两侧棱的截面 平行四边形 三角形 梯形

2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较，如下表所示:

结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球

定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱 以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的几何体称为球体，简称球

底面 两底面是平行且半径相等的圆 圆 两底面是平行但半径不相等的圆 无

侧面展开图 矩形 扇形 扇环 不可展开

母线 平行且相等 相交于顶点 延长线交于一点 无

平行于底面的截面 与两底面是平行且半径相等的圆 平行于底面且半径不相等的圆 与两底面是平行且半径不相等的圆 球的任何截面都是圆

轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆

3.简单几何体的分类：

【典例剖析】

例1  下列几何体是棱柱的有（    ）

图2

A.5个             B.4个                C.3个                  D.2个

活动：判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意.

棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱.很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合.

答案：D

点评：本题主要考查棱柱的结构特征.本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看到图形就想到文字叙述.

例2请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.

（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；

（2）如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°.

解：（1）特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形. 

几何体为正五棱柱.

（2）由两个同心的大球和小球,大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体,

即空心球.

例3若三棱锥的底面为正三角形,侧面为等腰三角形,侧棱长为2,底面周长为9,

求棱锥的高.

解：底面正三角形中，边长为3，高为 ，中心到顶点距离为

 ，则棱锥的高为 .

例4用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、

下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，

求圆台的母线长.

解：设圆台的母线为 ，截得圆台的上、下底面半径分别为 ， .

根据相似三角形的性质得， ，解得 .

所以，圆台的母线长为9cm.

点评：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而解得.

例5长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为 ，求

 与 的值.

解：设长方体的一个顶点出发的长、宽、高分别为a、b、c，相应对角线长为l，则 .

 ，

 ∴  =1.

 ，

∴  =2.

点评：从长方体的一个顶点出发的对角线与三条棱，均位于直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系“ ”、“ ”而求. 关键在于找准直角三角形中的三边，斜边是长方体的对角线，角的邻边是各棱长，角的对边是相应矩形面的对角线.

 【当堂检测】

一、选择题

1．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是(　　)

A．三棱锥　　　　　　　 B．四棱锥

C．五棱锥   D．六棱锥

2．下列说法错误的是(　　)

A．三棱柱的侧面为三角形

B．多面体至少有4个面

C．长方体、正方体都是柱体

D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

3．长方体三条棱长分别是AA′＝1，AB＝2，AD＝4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短距离是(　　)

A．5   B．7

C.29   D.37

4．下列命题正确的是(　　)

A．棱柱的底面一定是平行四边形

B．棱锥的底面一定是三角形

C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

二、填空题

5．如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，沿AE、AF、EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．

6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何图形的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的序号)．

三、解答题

7．如图(1)所示为一几何体的展开图．

(1)沿图(1)中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图；

(2)图(2)可由3个图(1)的折叠体组合而成，请在图(2)中棱长为6 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称．

参考答案：

1.解析：若是六棱锥，则顶点必在底面上，不能构成几何体．

答案：D

2.解析：A错，根据棱柱的定义，棱柱的侧面是平行四边形．

答案：A

3解析：如图，长方体分三种情况侧面展开得

12＋2＋42＝37，

22＋1＋42＝29，

42＋1＋22＝5.

故应选A.

答案：A

4.解析：棱柱、棱锥的底面可以是任意多边形，所以排除A、B；过棱锥底面的一条对角线及顶点的平面为棱锥，排除C.对于D，只要这个平面与底面平行就能够得到两个棱柱．

答案：D

5.解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．

答案：三棱锥(也可答四面体)

6.①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

答案：①③④⑤

7.解：(1)有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，且垂直于底面的侧棱长等于底面正方形的边长，如图甲所示．

(2)如图乙所示，

由四棱锥A1－CDD1C1，四棱锥A1－ABCD，

四棱锥A1－BCC1B1组合而成．