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椭圆的简单几何性质练习题

1．设F₁，F₂是椭圆E：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝2(3a)上一点，△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)

A.2(1)　　　　B.3(2)　　　　C.4(3)　　　　D.5(4)

答案：C

解析：设直线x＝2(3a)与x轴交于点M，则∠PF₂M＝60°，在Rt△PF₂M中，PF₂＝F₁F₂＝2c，F₂M＝2(3a)－c，故cos 60°＝PF2(F2M)＝2c(a－c)＝2(1)，解得a(c)＝4(3)，故离心率e＝4(3).

2．(2013·全国大纲)椭圆C：4(x2)＋3(y2)＝1的左、右顶点分别为A₁，A₂，点P在C上且直线PA₂斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是(　　)

A.4(3)   B.4(3)

C.，1(1)   D.，1(3)

答案：B

解析：由题意知点P在第一象限，设点P横坐标为x，则纵坐标为y＝2(3)×，由PA₂的斜率得：1≤2(3)×2－x(2＋x)≤2，即3(2)≤2－x(2＋x)≤3(4)，PA₁的斜率为2(3)×2＋x(2－x)，所以PA₁的斜率取值范围为4(3).故选B.

3．(2014·福建)设P，Q分别为圆x²＋(y－6)²＝2和椭圆10(x2)＋y²＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)

A．5   B.＋  

C．7＋   D．6

答案：D

解析：将两个动点间的距离转化为一个动点和一个定点间的距离．

设Q(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0,6)，故|QC|＝　①，因为10(m2)＋n²＝1　②，联立①②，|QC|＝，因为－1≤n≤1，故当n＝－3(2)时，|QC|有最大值，最大值为5，所以|PQ|_max＝|QC|_max＋＝6，故选D.

4．(2013·辽宁)已知椭圆C：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝5(4)，则C的离心率e＝________.

答案：7(5)

解析：由余弦定理得AF²＝AB²＋BF²－2AB·BF·cos∠ABF，即36＝100＋BF²－2×10·BF·5(4)，化简得BF²－16BF＋64＝0，解得BF＝8.∴△ABF为直角三角形．c＝2(1)AB＝5，设右焦点为F₂，连接AF₂，BF₂，由对称性可知四边形AFBF₂为矩形．∴AF₂＝8，由椭圆定义2a＝14，∴a＝7，∴离心率e＝7(5).