16.1  二次根式

第1课时  二次根式的概念及性质（1）

【知识与技能】

理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．

【过程与方法】

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

【情感态度】

通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.

【教学重点】

形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念的理解.

【教学难点】

利用“（a≥0）”解决具体问题.

一、创设情境，提出问题

1.用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：

（1）面积为3 的正方形的边长为     ，面积为S 的正方形的边长为     .

问：（1）中式子你是怎么得到的？得到的两个式子有什么不同？

（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为      m.

问：（2）中得到的式子有什么意义？

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，则     .

【教学说明】

由数字到字母，逐步渗透二次根式的概念，使学生对二次根式的由来有一个初步的印象.

2.（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？  表示的数怎样变化？

【教学说明】

让学生自主选择数字代入求值，一方面感知二次根式的计算，另一方面对二次根式有意义的条件有一个具体的认识.

二、合作探究，探索新知

1.上面问题中，得到的结果分别是：

（1）这些式子分别表示什么意义？

（2）这些式子有什么共同特征？

答：（1）分别表示3，S，65  的算术平方根．

（2）这些式子的共同特征是:都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根.

【教学说明】让学生观察思考后回答，使学生掌握二次根式的本质含义.

2.根据你的理解，请写出二次根式的定义.

把形如      ,用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式.

【教学说明】用具体的例子来归纳二次根式的定义，便于学生理解掌握.

3.二次根式：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.

二次根式→被开方数a≥0；根指数为2.

【教学说明】教师及时归纳总结，形成相应的数学知识.

三、示例讲解，掌握新知

例1  下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

【分析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.

解：二次根式有：；不是二次根式的有：.

【教学说明】教师强调要根据二次根式的定义进行判断,注意二次根式的特征.

例2  当x是多少时，在实数范围内有意义？

【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义.

解：由3x-1≥0，得：x≥

当x≥时，在实数范围内有意义.

【教学说明】教师强调二次根式有意义的条件是被开方数要大于或等于0，然后根据这一条件列出相应的不等式.

3.小结：请比较a和0 的大小

分类讨论思想

当a＞0 时, 表示a 的算术平方根，因此＞0；当a =0 时， 表示0 的算术平方根，因此=0；

这就是说，（a≥0）是一个非负数.具有双重非负性

【教学说明】教师引导学生进行总结，掌握二次根式的双重非负性.

四、练习反馈，巩固提高

1.下列各式中，是二次根式的为      .

2.当x为何值时，下列各式有意义？

【教学说明】  第1题是对二次根式定义的理解;第2题是对二次根式有意义条件的理解,第3题是对二次根式计算的应用.教师要求学生独立完成，以便于学生及时进行反馈.

五、师生互动，课堂小结

（1）本节课你学到了哪一类新的式子？

（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？

（3）二次根式与算术平方根有什么关系？一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“      ”称为二次根号.      中的a≥0.

（4）双重非负性

二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式.

【教学说明】让学生总结归纳，形成知识体系，更进一步掌握本节课知识.

完成同步练习册中本课时的练习.

本节课主要学习二次根式的定义和二次根式有意义的条件，以及它们的简单应用.在教学中，要与前面所学习的算数平方根紧密相连，从一个非负数的算数平方根入手，使学生逐步掌握二次根式的定义和二次根式成立的条件，关键是要学生理解为什么二次根式的被开方数是一个非负数，以及怎样应用它的非负性解决简单的问题.这里要注意除了满足被开方数为非负数以外，还要注意分母不能为0.