“胡不归”问题的教学设计

安徽省太湖县晋熙中学      朱记松

教学目标

⒈通过对一经典问题的阅读、思考，经历小伙子回家所需最短时间探索过程，感悟数学建模思想，体会数学与现实生活的联系，进一步激发学习兴趣，培养学生用数学意识。

⒉体会转化思想在实际问题中的应用。

教学重点

    通过“胡不归”问题的分析，假定相关数据，运用一元二次方程根的判别式构造不等式模型。

教学难点

    通过问题情境的分析，提出问题，运用已有的知识解决问题，得出一般性结论（即数学模型）。

教学过程：

（一）问题情境

从前，一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？(怎么还没回来？怎么还没回来？)……”

（二）建模分析

老人的叨念是否有一定的依据呢？我们不妨还原一下当时小伙子回家的情境。如图1，是出发地，是目的地；一条驿道砂土地带。为了急切回家，小伙子选择了直线路程。

图1                              图2

（三）数学建模

小伙子他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些,但是速度可以加快），是有可能提前抵达家门的。

    1.设定数据：

过点作于。显然，、、都是定值。不妨设，，，，，满足，如图2所示。假定小伙子在驿道和砂地上行走的速度分别为和，其中。

2.作出假设：

假设一：小伙子能提前回家

（一）小伙子除了按直道行走外，是否还有其它的行走方案？

    请按下述方案探究：

方案一：若小伙子先从行走到，再由行走到，如图3－1示，小伙子所需时间。

方案二：若小伙子先从行走到的中点，再由行走到，如图3－2示，小伙子所需时间。

方案三：若小伙子先从行走到的三等分点（靠近点），再由行走到，如图3－3示，小伙子所需时间。

             图3—1                   图3－2                  图3－3                                    

为了便于比较上述、、、、的大小，咱们首先不妨从特殊的情形入手。假设，，，天，天，则小伙子原来用时天；其它三个方案的时间依次为天；天；天。

从上述结果看，小伙子首先从点出发沿驿道行走，然后再从沿直线行走到点，可以使回家的时间提前。

假设二：若小伙子能提前回家，则上述参数、、、、所满足的条件。

设他从出发沿驿道至、再从至，他一定可以提前到家，如图2所示。假定，很显然，则有：

，

解得，则有，此时参数、、、应满足即。

3、建立模型

既然小伙子可以提前回家，那么最多又可以提前多长时间呢？即他回家所需时间的最小值又是多少？

不妨设他从出发沿驿道至、再从至，，所需的时间为，则：  ①。

上述式子①可以从函数、方程两种不同的视角思考。如果从函数的角度思考，可以求导或利用函数图象的方法求出最值，但对高一乃至初中学生来说，是不可能办到的。如果从方程的角度研究，因为随着的变化而变化，所以可以把看作主元把它整理成关于的整式方程。

经整理得关于的一元二次方程如下：   （1）

由根的判别式得：

，

，

4、模型求解：

解不等，

解得或。

因,应舍去。故。

5、结论：

当小伙子在驿道和砂地上行走的速度分别为、，它们满足时，小伙子到家的最短时间为。

（四）模型应用

如图4，有一条河流，河宽AB=30米，武警战士在离B点60米处的C点发现河对岸A点处有人掉入水中，立即营救，已知武警战士在河岸上的跑步速度为6米/秒，在河水中游泳的速度为2米/秒，试问武警战士最快能用几秒赶到？

图4

（五）课堂小结

1、知识点：一元二次方程根的判别式，一元二次不等式的解法，不等式的性质。

2、基本的数学思想：转化思想。

3、数学建模的基本步骤：（1）将实际问题通过抽象，提出数学问题；（2）设定参数、变量，建立数学模型；（3）求出数学模型的解；（4）模型的检验、修正与应用。

（六）教学反思

1.数学教学应该思维严密，逻辑性强。

本节数学建模课的教学是针对九年级（下学期）学生设计的，教学思路是“探究若小伙子能提前回家，参数、、、、所满足的条件——围绕小伙子回家所需时间的最小值建立数学模型——求出小伙子回家时间的最小值”，有较强的逻辑性。但在教学过程中没有对时间的最小值的合理性进行证明，给人打马过桥之感，这实际上就是数学思维、数学不够严谨的表现。鉴于此，现将证明过程补充如下：

∵，∴，即。

∴，即：

，

∴，即。

∴，∴，∴。

即小伙子改道后回家所需时间的最小值小于原来的时间。故成立。

2.数学建模需要学生具有较高的综合素养

什么是数学建模？一般地，数学建模就是利用数学的方法解决实际问题的一种实践.它不仅要求学生有较高的问题意识，较强的抽象能力、分析能力、数据的处理加工能力等等，有时还需要具备其它学科知识，甚至还要求学生根据实际需要，在较短的时间内自学有关知识并运用它来解决实际问题.总之，数学建模能力是学生综合素养的体现.