18.1勾股定理

太湖县新仓初中：陈光宇

教学内容 勾股定理是数学中几个重要定理之一它揭示的是直角三角形边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用,在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理 的学习,可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

教学目标

知识与技能 探索直角三角形三边关系;了解勾股定理的发现过程;掌握勾股定理的内容.会用面积法证明勾股定理。

过程与方法

 1、经历观察与发现直角三角形三边关系的过程感受勾股定理的应用意识。

 2、在探索勾股定理的过程中让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的能力,并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

情感态度与价值观

 1、介绍我国古代勾股定理研究方面所取得的成就感受数学文化,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。

2、在探究活动中培养学生的合作交流意识和探索精神。

教学重点 了解勾股定理的演绎过程,掌握勾股定理及其应用。

教学难点 理解勾股定理的演绎和推导过程。

教学过程

一、创设情境——观察探索——形成概念

引入 首先创设这样一个问题情境:某楼房二楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高3米,消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?

[设计意图及设想]问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生的探究欲望,教师引导学生将实际问题转化成数学问题,以实际问题为切入点引入新课,不仅自然,而且反映了数学来源于实际生活,数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点。

1、如图是一个行距、列距都是1的方格网。问:每一个最小格点正方形面积是多少?然后在方格网中投影显示出以格点为顶点等腰直角

△ABC,并显示分别以三角形的各边为边,向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。

问:1、三个正方形面积S_Ⅰ、S_Ⅱ、S_Ⅲ分别是多少？它们之间有怎样的关系？如用它们的边长表示，能得到怎样的式子？（思考、与同伴交流）

[设计意图及设想] 从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们从中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。

2、在上一题的基础上，设置下列问题情境：

在行距、列距都是1的方格网中，再作一个格点不等腰直角△ABC，分别以三角形的各边为边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。让学生在网格纸上画图，然后投影出图。根据上述安排如下三个探究题：

（1）三个正方形面积S_Ⅰ、S_Ⅱ、S_Ⅲ分别是多少？（思考、分组讨论、交流）（学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积.或者将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形求得正方形C面积）。

（2）S_Ⅰ、S_Ⅱ、S_Ⅲ是什么关系？（思考、分组讨论、交流）

（3）如用它们的边长a,b,c表示，能得到怎样的式子？

 [设计意图及设想]  这样设计不仅渗透从特殊到一般的数学思想，而且突破难点，为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力得到了提高。

探究题：你们发现直角三角形三边的长有怎样的关系？能用简练的语言概括出来吗？（学生分组讨论、小组代表发言）

结论：勾股定理  直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

二、创设情境——合作探究——推理论证

    介绍全世界的数学家和数学爱好者都为勾股定理的证明付出过努力，至今有几百种证法。介绍勾股定理在中国古代的研究激发学生热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。

1、设置下列问题情境：如图在直角△ABC中，∠C=90°AB=C，BC=a, 

AC=b, 求证：a²+b²=c²

让学生按图示拼图。问：

（1）所拼的图中边长为C的四边形是正方形吗？为什么？

（2）让学生根据理解写出证明的推理过程。  

 ∵ S_{正方形ABCD}=(a+b)²=c²+4×ab

∴ a²+b²=c²

[设计意图及设想]让学生亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力. 

2、可向学生介绍下列两种方法，激发学生的兴趣

方法二: “赵爽弦图”法.将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正

方形

 ∵ S_{正方形ABCD}=c²=(a-b)²+4×ab

∴ a²+b²=c²

方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积相等 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, 

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. 

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于c².

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 (a+b)²

∴ (a+b)²=2×ab+c²

∴ a²+b²=c²

以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明。[设计意图及设想]让学生模拟数学家的思维方式和思维过程,体会探索的快乐。

3、（定理命名）.约 2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾,  较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中，如果勾为3,股为 4,那么弦为5；勾为6,股为8,那么弦一定为10；勾为5,股为12,那么弦一定为13等.所以我国称它为勾股定理， 西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。

[设计意图及设想]对学生进行爱国主义教育，增强学生的民族自豪感.

三、即时训练——巩固新知

1、课本第6页练习 第1、2、题 。

2、Rt△ABC的两边长分别是3和4，则第三边长的平方为多少？

3、已知等边三角形ABC的边长是6cm，求：（1）高AD的长；

（2）△ABC的面积。

4、如图，一个3cm长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？

思路点拨：从BD=OD-OB可以看出，必需先求OB、OD，因此可以通过勾股定理在Rt△AOB、Rt△COD中求出OB和OD，最后将BD求出。

学生活动：观察、交流，从中寻找出Rt△AOB，Rt△COD以此为基础应用勾股定理求得OB和OD。

[设计意图及设想]补充课堂练习，让学生对本节课的知识进行最基本的运用，为下节课勾股定理的应用做好铺垫.

四、课堂总结——提高认识

主要通过学生回忆本节课所学内容，从内容、应用、数学思想方法、获取新知的途径方面先进行小结，后由教师总结。

 五、布置作业

1、课本P8习题17.1    第1、2、3、题

2、体会本堂课你所获得成功的经验，写好数学日记，同学交流