二次函数的应用之最值问题教学设计

桐城市老梅初中    高小才

一、教学目标

【知识与技能】通过本节学习，巩固二次函数 的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

【过程与方法】通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、分类讨论思想。

【情感、态度与价值观】通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。

二、教学重难点分析

教学重点：利用二次函数的图象与性质，求面积最值问题

教学难点：1、正确构建数学模型

2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用

三教学过程设计

(一)复习引入:

1.复习：二次函数  的图象、顶点坐标、对称轴和最值。

2.（1）求函数y＝ x²－2x－3的最值。

  （2）求函数y＝x²－2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）

3、你认为抛物线在什么位置取得最值？

(二)新课讲解

【探究活动一】

1、设置问题情境：

某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗。要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？

（1）填一填：

（2）若设它的一边长为xm,则它的另一边长为_________m，矩形的面积S(m²)表示为____________

（3）矩形的一边长为_______米时，它的面积最大？最大面积是_______米²。此时，它的另一边长为__________米。

2.例题讲解

例1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。

(1)若设花圃的宽AB为x米，面积为S米²。求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。

说明：解这类问题一般的步骤：

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，运用公式法、配方法或图像法求出二次函数的最大值或最小值．

3、练习（1）

某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为AD=x(m) ，花园的面积为y(m²)．

(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

(2)根据（1）中求得的函数关系式，问当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

【探究活动二】

1、设置问题情境：

有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个。问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？

2、例题讲解

例2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？

3、练习（2）

已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如调整价格 ，每降价1元，每星期可多卖出18件。如何定价才能使利润最大？

思考：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？

四、师生小结

1、知识小结：这节课我学到了…

2、方法小结：这节课，我学会用…数学思想方法解二次函数的实际应用题。           

五、布置作业：

1、指出下列函数的最大或最小值

(1)y= -3(x+2)²-1          (2)y= -3(x+2)²-1 (-1≤x<2)  

2、如图是窗子的形状，它是有上下连成一体的两个矩形构成。已知窗框的用料是6m，要使窗子能透过最多的光线，问窗子的边长各是多少？

3、如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40ｍ长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。回答下面的问题：

（1）设每个小矩形一边的长为xm，设四个小矩形的总面积为ym²，请写出用x表示y的函数表达式。

（2）你能利用公式求出所得函数的图象的顶点坐标，并说出y的最大值吗？

（3）若墙的长度为10米，x取何值时，养兔场的面积最大？

4、某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50 元销售,平均每天可销售100箱. 价格每箱降低1元，平均每天多销售25箱 ;  价格每箱升高1元，平均每天少销售4箱。如何定价才能使得利润最大？