《函数的单调性》  教学设计

教材分析

 函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有广泛的应用．因此这节课的教学要给予充分的重视，

 教学目标：

 知识与技能 ： 使学生理解函数单调性概念的知识，获得判别函数单调性及证明单调性的技能和能力

过程与方法：  引导学生经历观察归纳、抽象概括的过程，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生掌握判别函数单调性及证明单调性的方法，领会数形结合的数学思想方法

情感态度与价值观：  在函数单调性的学习过程中，学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

教学重点：函数单调性的概念，利用函数单调性的概念证明一些函数的单调性

教学难点：理解函数单调性的概念；学习难点是函数单调性的概念形成．

 教学过程

 一  创设情境，提出问题

 （问题情境）某地区2014年的一天24小时内的气温变化图，观察气温变化图：

  [教师活动]引导学生观察图象，提出问题：

 问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？   

 问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

　　[设计意图]问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．

 二  形成概念，建构新知

 　[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．

 [教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t₁=8时，f(t₁)=1，t₂=10时，f(t₂)= 4”这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8<10，对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．

在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：

 问题3:对于任意的t₁、t₂∈[4，16]时，当t₁< t₂时，是否都有f(t₁)<f(t₂)呢?

[学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．

 [教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当：：时，都有：：”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：

 问题4： 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？

 最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．

 让学生从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．从描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画．

 　　三  自我尝试 运用概念

为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．

例1 定义在区间|-5，5|上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数？

 　[教师活动（1）你能找出气温图中的单调区间吗？（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．

 　　所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．

 学生：对于给定图象的函数，借助于图象，可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．

对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？

例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

 　　引导学生进行分析证明思路，同时展示过程：

分析证明中体现函数单调性的定义。

利用定义证明函数单调性的步骤：

①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2，②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形 ③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号④得出结论：根据定义作出结论（若差大于0，则为增函数；若差小于0，则为减函数）

 　即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”

有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．

 四 变式练习，深化理解

1， 函数 f(x)=-3x+2是R上什么函数，并加以证明。

2，  证明函数f(x)=1\x在(0,+00)上是减函数

通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.

 五 拓展延伸，开阔眼界

1， 函数 f(x)=ax+2,a为何值时R上增函数，a为何值时R上减函数？

2， 函数F(x)=x²+ax+3的单调性。

学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.

六课堂小结，

（1）函数单调性的概念

（2）函数单调性的判断，证明函数单调性的步骤

　 七 作业布置：

1，练习题

2，课本习题1，2

3， 探究题f(x)=ax²+ax+2的单调性

教学反思：

（1）、在概念的形成时，从实际生活实例出发，结合函数图象分析，才能让学生经历从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认知过程，从而形成函数单调性的概念，有利于学生理解与掌握；

（2）在概念应用时，通过对具体问题证明过程的分析，帮助学生掌握用定义法证明函数单调性的方法和步骤，并通过变式练习，得到巩固深化。