《向量的加法及其几何意义》教学设计与反思

桐城八中  何效富

一、教材分析 

《普高中课程标准数学教科书 数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的线性运算的第一节“向量的加法及其几何意义”（80--84页）。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。

二、学情分析 

学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。

三、教学目标  

根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为：

1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。

2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。

3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。

4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。

四、教学重点与难点  

1、教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义。（两个向量的和的概念是向量加法的基础，而向量加法是向量运算的基础，向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种向量运算后，总是要考察一下它的几何意义，正因为向量的几何意义，使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用。）2、教学难点：向量加法的运算律。（设计让学生先猜想后验证来学习运算律，需要利用类比的思想进行猜测，还要在猜测的基础上加以验证，有一定难度。）

五、教学过程设计 

1、问题引入（约5分钟）

引例：有两条拖轮牵引一艘驳船，它们的牵引力分别是＝3000牛，＝2000牛，牵绳之间的夹角θ＝60°，如果只用一条拖轮来牵引，而产生的效果跟原来的相同，试求出这条拖轮的牵引力下的大小和方向。在物理中，我们已知道，两个不在一条直线的共点力 与 的合力是以 、 为邻边的平行四边形OACB的对角线OC所表示的力。这就是说， 是 与  相加所得到的和。

[设计说明]引导学生利用物理中合力的概念，来解决这个实际问题,以现有的知识为出发培养学生的知识类比、迁移能力。

[学情预设]把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点。

2、概念形成（约5分钟）

一般地，把以、为邻边的平行四边形OACB的对角线 ，叫做与 两个向量的和，记作 ＋ 。求两个不平行向量的和可按平行四边形法则进行。

问题1：如何求两个平行向量的和向量？

问题2：任意一个向量与一个零向量的和是什么？

求两个向量的和的运算叫做向量的加法。

[设计说明]补充说明两个向量和的概念，同时让学生体验分类的思想。

3、概念深化（约15分钟）

练习  根据图中所给向量 画出向量（见教材）

解法1：将两个向量起点重合，应用平行四边形法则画出两个向量的和向量。

解法2：将一个向量的起点与另一向量的终点重合，也可以画出两个向量的和向量。

[设计说明] 1、学生通过练习题（1）可加深对向量加法概念的理解。另外，可由此引出向量加法的三角形法则。2、通过对比的方式让学生了解向量的加法既可以按照平行四边形法则进行，也可以按照三角形法则进行。在向量加法运算中，通过向量的平移使两个向量首尾相接，可使用三角形法则。

4、应用举例（约10分钟）

（1）已知平面内有三个非零向量 、、 ， 它们的模都相等，并且两两的夹角都是120°，求证： ++ ＝ ；（2）在平面内能否构造三个非零向量、、，使 ++ ＝；（3）能否说出（2）的实际模型？——首尾相连构成三角形！

[设计说明] 题（1）是基本的例题；题（2）是题（1）的拓展；题（3）能体现数学来源于实际又应用于实际的思想。

5、研究讨论（约5分钟）  已知、是非零向量，则|+|与||＋||有什么关系？

[设计说明]设置这一研讨题可以将本节课与上节课的知识联系起来，并进一步渗透分类的思想。

6、小结归纳：（约4分钟）

让学生自主回顾和归纳本节的内容。

[设计说明]1、向量加法的意义；2、理解实际问题数学化的思想，增强数学的应用意识；3、理解分类讨论等数学思想，培养类比、迁移等能力

[学情预设]要求学生不仅对知识体系进行归纳，还要对本节课中所体现的数学思想方法及数学能力进行总结有一定的难度。

7、作业布置：（约1分钟）  练习册p.21的6、10、19。

[设计说明]1、巩固所学的内容。2、对所学内容的检测、反馈与及时补充不足。

六、教学反思  

1、设计意图：教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。

2、预期目标：上完此课，基本达成我的预期目标，但有些过程还不够完善，各教学段的时间把控上也有待调整。

3、优、缺点：在本节课中我采用“探究----讨论”教学法，这是本节课一大优点。“探究----研讨”教学法是美国哈佛大学教育专家兰本达所倡导的。“探究----研讨”教学法把教学过程分为两个步骤：第一步骤是“探究”，概念形成及概念深化都是采用探究的方法；第二步骤是“研讨”，即在探究的基础上，组织学生研讨自己在探究中的发现，通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对概念的理解由感性上升到理性。缺点是过程不够完善，在时间的把控上也尚需调整，即在教学的有效性上还需改进。

4、有效改进：我所设计的问题引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法，但第一步骤“探究”过程如果在衔接上注意将有关材料有层次地提供给学生，让学生独立地支配它，进而探索，研究它。学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，就可获得对向量加法的感性认识和形成各自对向量加法概念的了解。第二步骤的“研讨”，在实际教学中可能受预设时间的牵绊，师生、生生间的互相交流、启发、补充和争论，有些地方还不充分。如应用举例的第（3）小问，应让学生充分讨论，这样才能使学生对向量加法的认识从感性上升到理性，获得一定水平层次的科学概念。还有要改进的地方也在本题，没有充分挖掘资源，使得学生对概念层次的认识进入更高层次，如紧接第（3）小问，顺势推出向量加法的“多边形法则”，岂不更为有效！