【校本研修成果】+李大素/商丘市第三高级中学

课    题：对数函数及其性质

学习目标

1．能说出对数函数的性质；

2．会画出对数函数的大致图象；

3．能根据对数函数的性质解决大小比较问题； 

4．能解决与对数函数相关的综合问题.

学习重点：对数函数的图像和性质

学习难点：对数函数性质的综合应用；

授课类型：新授课

课时安排：一课时

教学方法：采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究、合作交流的教学方法，通过各种教学媒体，调动学生参与教学的积极性。

教    具： 多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.对数函数的概念

函数叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 ，值域为。其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制．

想一想？

判断：以下函数是对数函数的是（   ）

         A、y=log₂(3x-2)         B、y=2lgx           

 C           D、y=lnx

2.对数函数的图象与性质

二、自主自测

1.求下列函数的定义域：(a >0 且a≠1 )

(1) y=log_ax² 

(2) y=log_a(4－x)

解：(1)因为x²＞0即x≠0所以函数y=log_ax²的定义域是｛x│x≠0 ｝

(2)因为 4－x＞0即x＜4

所以函数y=log_a(4－x)的定义域是｛x│x＜4 ｝

2. 根据对数函数单调性比较大小

1）、log₃0.5 ___ 0         2）、log_0.20.5 ___0

 3）、log₅3    ___ 0        4）、log_0.35  ___0

三．典型例题

（一）对数函数的图象和性质的应用一 ----比较大小 

例1：同底的对数值比较大小： log₂3与 log₂8.5

解 ：考察函数y=log ₂ x  因为2 > 1,且 y=log ₂ x  

在（0，+∞）上是增函数；

因为3<8.5   所以 log₂3< log₂8.5

练一练：同底的对数值比较大小：log _0.7 1.6与 log _0.7 1.8

点拨归纳 ：同底对数值比较大小的方法  利用函数单调性判断大小

两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

①确定所要考查的对数函数；

②根据对数底数判断对数函数增减性；

③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小

例2.  底数不同，真数相同的对数值比较大小：

           log₆4  与  log₇4

解法一 ：利用对数函数图象数形结合，看图像找点比高低

得到  log₆4  > log₇4  

解法二：   又    即

练一练：  底数不同，真数相同的对数值比较大小：log₅3  与  log₄3

点拨归纳 ：1.底数不相同，真数相同，利用图象判断大小

2.底数不相同，真数相同，写成倒数形式比较大小

例3. 底数不相同，真数也不相同的对数值比较大小：

      log₃5  与  log₅3

解 : 因为 log₃5 > log₃3 =1   log₅3 < log₅5  =1

所以   log ₃5  > log ₅3

练一练：比较log₃2  与 log₂0.8的大小 　

点拨归纳 ：底数不相同，真数也不相同， 常需引入中间值 0 或 1(各种变换形式

（二）对数函数的图象和性质知识应用二 ----解不等式

例4. 不等式log₂(4x+8)>log₂2x 中x的取值范围

解：由对数函数的性质及定义域要求，得解得x > 0

练一练：解不等式

不等式的解集为

点拨归纳 ：1.解对数不等式时 ,  注意真数大于零.

2.在解不等式时，一般情况下是将不等式的两边化成同底的两个函数值，利用函数的单调性来解决 

四．本节课小结

引导学生回顾本节课所学习的知识及数学思想方法：

1.正确理解对数函数的定义

2.掌握对数函数的图象与性质

3.利用单调性比较大小，引入中间变量比较大小

4.能利用对数函数的性质解决有关问题. 

5.数形结合思想的应用 

五、布置作业：   课本第75页  习题2.2  B组 1.2.3.4

六、 课后记：

1.教学资源建议

.教材、教参，与教材相关的课件，信息技术手段等；

2.教学方法与学习指导策略建议

教学过程中，贯穿数形结合的思想

教学反思

我觉得本节课的第一个重点“对数函数的概念”我处理的不是很到位。因为数学教学应该重视概念的教学。概念教学应让学生感受到概念产生的必要性，让学生参与概念的定义过程，感受其合理性。而我考虑到时间分配问题，所以没有展开讲，鉴于这种情况，我在后续课程中继续渗透“对数函数”概念的本质，直到学生理解“对数函数”这一概念；后来我想，如果再设计“对数函数”概念部分的话，可不可以这样来进行：从指数函数与对数函数的反函数关系角度为切入点来引出对数函数的概念。原因有三：（ 1 ）学生已经比较详细地学习过指数函数，对数概念，了解对数与指数之间的关系——对数是指数的另一种表示形式，还学习过对数的运算法则等。这些就构成了学习对数函数的“生长点”，构成了一个重要的系统。让学生在与旧知识的联系中学习新知识，在知识的系统中理解新知识，让学生了解知识的发生过程、来龙去脉，以帮助他们形成良好的知识结构，提高认识能力，便于知识的迁移与应用。（ 2 ）由指数函数以及对数与指数的关系引入，突出对数函数与指数函数的联系有利于今后对数函数的研究。在建立对数函数的概念之后引导学生举例，加强与实际的联系，以具体事例为载体理解抽象的概念。（ 3 ）这样设计还能体验对数函数与指数函数互为反函数。学习对数函数承载着互为反函数的两个函数关系的体验。引导学生反复体验对数函数与指数函数之间的关系，反函数概念将水到渠成。这样借助类比，紧密联系指数函数可以更好地认识对数函数。

而我认为在处理后面两个重点“对数函数的图像及其性质”时相对要好的多，基本上能体现出学生的“主体地位”，留足了时间让学生亲自动手体验了对数函数图像的生成过程，即便他们自己获得的结果是不准确、不完整的，这并不可怕，相反这种经历是可贵的，因为这些结果来自于他们自己的思考，是自己思维劳动的成果，是主动、积极、有效的。接着引导学生来评价而不是教师。（实物投影了两份典型作品）思考他们画对数函数的图像的作法是否合理，课堂实践充分说明学生们做的很好，把画对数函数图像的要点及描点法作图的细节都挖掘出来了，期间老师只做适时的评价及完善就好，我们要充分相信学生。

还有一点值得提的是“几何画板”的作用。当时在设计这个环节的时候，我们也很纠结：是先利用几何画板展示对数函数图像，让学生直接利用直观感知总结对数函数性质呢，还是先让学生根据自己作图的经历及指数函数性质的经验猜想对数函数性质，再用几何画板来印证他们的猜想结果呢，最后我们选择了后者，这样既锻炼学生的逻辑思维能力，又强调了数学的严谨性。实践又一次证明如果我们给予学生信任，他们会还给我们惊喜，真的，学生不但总结出了对数函数本身的性质，还得到了两个重要性质：（ 1 ）底互为倒数的两个对数函数的图像关于 x 轴对称；（ 2 ） a>1 时，对数函数的底越大，图像越靠近 x 轴； 0<a<1 时， a 越小，图像越靠近 x 轴。