二次函数的概念

教学目标

      1．使学生理解二次函数的概念。

      2．使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。

      3．为分散后面教学的难点，可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题。

重点：对二次函数概念的理解。

难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。

教具：课件

教学过程

一、创设情景

　　 1．什么叫函数？它有几种表示方法？

2．什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？(复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．)

二、实践与探索

　　函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系．

问题1、 正方形的边长是x，面积y与边长x之间的函数关系如何表示？

　　解：函数关系式是y=x²(x＞0)(写在黑板上)

问题2、农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

　　解：函数关系式是y=50(1＋x)²，即y=50x²+100x+50(写在黑板上)

　　由以上两例，启发学生归纳出(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)．(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)．

三、讲授新课

二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．

巩固对二次函数概念的理解：

　　1．强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．

　　2．在y=ax²＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．

　　3．在y=50x²＋100x＋50中， a=50， b=100， c=50．

　　4．为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax²＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)

　　5．b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零．

　　若b=0，则y=ax²＋c；若c=0，则y=ax²＋bx；若b=c=0，则y=ax²．

　　以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax²+bx+c是二次函数的一般形式．

四、巩固练习

练习1、下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指出a、b、c．

(1)y=1-3x²；(2)y=x(x-5)；　(3)y=3x(2-x)＋3x²；　(4)y＝(x＋2)(2-x)；

(5)y=x⁴＋2x²＋1．(可指出y是关于x²的二次函数)

练习2、m取哪些值时，函数y=(m²-m)x²+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数？

分析 ： 若函数y=(m²-m)x²+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数，须满足的条件是：m²-m≠0

解 ： 若函数y=(m²-m)x²+mx+(m+1)是二次函数，则m²-m≠0 ．解得 m≠0，且m≠1．因此当m≠0，且m≠1，函数y=(m²-m)x²+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数．

小结  形如y=ax²+bx+c的函数只有在a≠0的条件下才是二次函数．

五、布置作业

　　1．在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm²)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围．

　　2．已知二次函数y=4x²＋5x＋1，求当y=0时的x的值．

　　3．已知二次函数y=x²-kx-15，当x=5时，y=0，求k．

　　4．已知二次函数y=ax²＋bx＋c中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值.