垂直于弦的直径

【学习目标】: 

1．研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论.  

2. 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。

3．经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。

【重点难点】

   重点： 垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。

   难点：垂径定理及其推论的运用。

教学过程

一、【问题导学】 

1. 将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？ 2. 将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？

3. 一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？

4. 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？

二、【合作探究】.

 圆的对称性 （探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？ 2. 垂径定理 （思考）如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。

 ① 这个图形是对称图形吗

② 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由

③ 你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

④ 你能用几何方法证明这些结论吗？

前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论

后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。

圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。

教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结。

⑤ 你能用符号语言表达这个结论吗？

3．垂径定理的推论

如上图，若直径CD平分弦AB则 ① 直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？ ② 你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）

③ 如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？

三、【训练反馈】

简单应用 

如图，在⊙O中，直径MN⊥AB于C，则下列结论错误的是（  ） A、 AC=BC  B、AN=BN  C、OC=CN D、AM=BM l

 典型应用

 如图。在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O的半径为   cm。

（1） 连结什么可得到一个直角三形？

（2） 利用什么知识可以解得半径？

（3） 从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？

l 生活中的应用

如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗？提示：此中直角三角形AOD中只有AD是已知量，但可以通过弦心距半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。

利用垂径定理进行的几何证明

教材第82练习第2题

l四、【知识梳理】

（1） 本节课你学到了哪些数学知识？ 

（2） 在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？

（2） 这些方法中你又用到了哪些数学思想？

作业布置

（1）教材82页练习第1题   88页第11题

分层作业

如图，AB为⊙O的弦

⊙O的半径为5，OC⊥        

AB于点D，交⊙O于点

C，且CD＝l，则弦AB              OOo

的长是多少？                A            B