第1课时　圆周角的概念和圆周角定理

防胡中学  周恩动

教学目标：

1．理解圆周角的概念，会识别圆周角．

2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算．

重点难点：

重点 圆周角的概念和圆周角定理．

难点 用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定．

教学设计：

活动1　复习类比，引入概念

1．用几何画板显示圆心角．

2．教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.

(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.

(2)当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫什么角呢？

学生会马上猜出：圆周角．教师给予鼓励，引出课题．

3．总结圆周角概念．

(1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义．估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求．

(2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示下图．

学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆周上；②角的两边都与圆相交．最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角．

(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？

学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件．

活动2　观察猜想，寻找规律

1．教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为45°，圆心角为90°的特殊情况的图形．

提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系．由于情况特殊，学生观察、测量后，容易得出：对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半．

2．教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

活动3　动手画图，证明定理

1．猜想是否正确，还有待证明．教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证．

2．先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否合理？

3．利用实物投影在全班交流，得到三种情况．若三种位置关系未出现全，教师利用电脑演示同一条弧所对圆周角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情况．

4．引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证明，写出证明过程，教师点评．

5．引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”转化成“圆心角的顶点在圆周角的一边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示．然后小组交流讨论，上台展示证明过程，教师点评证明过程．

6．将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”．

活动4　达标检测，反馈新知

1．教材第88页　练习第1题．

2．如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙O中的弧BC所对的圆周角和圆心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.

3．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠BOC＝________.

答案：1.略；2.120°；3.120°.

活动5　课堂小结，作业布置

课堂小结

1．圆周角概念及定理．

2．类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想．

作业布置

教材第88页　练习第4题，教材第89页　习题第5题．

第2课时　圆周角定理推论和圆内接多边形

备课时间：

教学目标：

1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明．

2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆．

3．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题．

重点难点：

重点

圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用．

难点

圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线．

教学设计：

活动1　温习旧知

1．圆周角定理的内容是什么？

2．如图，若︵(BC)的度数为100°，则∠BOC＝________，∠A＝________.

3．如图，四边形ABCD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与DC所夹的∠2＝60°，则∠1＝________，∠B＝________.

4．判断正误：

(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数；(　　)

(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．(　　)

答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略

活动2　探索圆周角定理的“推论”

1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A，C为端点的弧所对的圆周角有多少个？试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小关系如何？为什么？

让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论正确吗？

2．教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？

让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC是直角．教师追问理由．

3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？

4．师生共同解决教材第87页例4.

活动3　探索圆内接四边形的性质

1．教师给学生介绍以下基本概念：

圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．

2．要求学生画一画，想一想：

在⊙O上任作它的一个内接四边形ABCD，∠A是圆周角吗？∠B，∠C，∠D呢？进一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？

3．先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接四边形对角互补．

4．课件展示练习：

(1)如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B＋∠ADC＝________；若∠B＝80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________；

(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠D＝________，∠B＝________；

(3)四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________；

(4)如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B＝75°，则∠C＝________.

(5)想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？

答案：(1)180°，180°，100°，80°；(2)130°，50°；(3)45°；(4)75°；(5)都有．

活动4　巩固练习

1．教材第88页　练习第5题．

2．圆的内接梯形一定是________梯形．

3．若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立(　　)

A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4

B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4

C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4

D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1

答案：1.略；2.等腰；3.B.

活动5　课堂小结与作业布置

课堂小结

本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步应用性质定理进行有关问题的证明和计算．

作业布置

教材第89～91页　习题第5，6，13，14，17题．