发布者:陈世兰 所属单位:息县四小 发布时间:2018-01-05 浏览数( -) 【举报】
《有理数》全章复习与巩固(基础)
撰稿:孙景艳 审稿:赵炜
【学习目标】
1.理解正负数的意义,掌握有理数的概念.
2.理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.
3.学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.
4. 理解科学记数法,有效数字及近似数的相关概念并能灵活应用;
5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.
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【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1.有理数的分类:
(1)按定义分类: (2)按性质分类:
要点诠释:(1)用正数、负数表示相反意义的量;
(2)有理数“0”的作用:
作用 |
举例 |
表示数的性质 |
0是自然数、是有理数 |
表示没有 |
3个苹果用+3表示,没有苹果用0表示 |
表示某种状态 |
表示冰点 |
表示正数与负数的界点 |
0非正非负,是一个中性数 |
2.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.
要点诠释:(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如.
(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
3.相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0.
要点诠释:(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“”号即可.
(3)多重符号的化简:数字前面“”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负.
4.绝对值:
(1)代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
数a的绝对值记作.
(2)几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.
要点二、有理数的运算
1 .法则:
(1)加法法则:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.
(2)减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) .
(3)乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.②任何数同0相乘,都得0.
(4)除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·(b≠0) .
(5)乘方运算的符号法则:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0.
(6)有理数的混合运算顺序:①先乘方,再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行;
③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
要点诠释:“奇负偶正”口诀的应用:
(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:-[-(-3)]=-3,
-[+(-3)]=3.
(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:(-3)×(-2)×(-6)=-36,而(-3)×(-2)×6=36.
(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;指数为偶数,则幂为正,例如: , .
2.运算律:
(1)交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a; ②乘法交换律:ab=ba;
(2)结合律: ①加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c); ②乘法结合律:(ab)c=a(bc)
(3)分配律:a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有:(1)数轴比较法;(2)法则比较法:正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小;(3) 作差比较法.(4)作商比较法;(5)倒数比较法.
要点四、科学记数法
1. 科学记数法:把一个大于10的数表示成的形式(其中,是正整数),此种记法叫做科学记数法.例如:200 000=.
2.有效数字:从一个数的左边第一个非0数字起,到末位数字止,所有数字都是这个数的有效数字.如:
0.000 27有两个有效数字:2,7.
注意:万=,亿=10
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
1.若一个有理数的:(1)相反数;(2)倒数;(3)绝对值;(4)平方;(5)立方,等于它本身.则这个数分别为(1)________;(2)________;(3)________;(4)________;(5)________.
【答案】(1)0; (2)1和-1;(3)正数和0;(4)1和0;(5)-1、0和1
【解析】根据定义,把符合条件的有理数写全.
【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.
举一反三:
【高清课堂:有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】
【变式】(1)的倒数是 ;的相反数是 ;的绝对值是 .
-(-8)的相反数是 ;的相反数的倒数是_____
(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定上涨记为正,则-5.8元的意义是 _ ;如果这种油的原价是76元,那么现在的卖价是 .
(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m/min.
(4) 若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则____ .
(5) 近似数0.4062精确到 位,有 个有效数字;
近似数 5.47×105精确到 位,有 个有效数字;
近似数3.5万精确到 位,有 个有效数字.
(6) 3.4030×105保留两个有效数字是 ,精确到千位是 .
【答案】(1); ; ;-8;2 (2)降价5.8元,70.2 元;(3);(4)3;
(5)万分,4;千,3;千,2 (6)3.4×105,3.40×105
2. 如果(x-2)2+|y-3|=0,那么(2x-y)2005的值为( ).
A.1 B.-1 C.22006 D.32005
【思路点拨】利用非负数的性质,求出的值再代入计算.
【答案】A
【解析】 因为(x-2)2,|y-3|都是非负数,且(x-2)2+|y-3|=0, 所以由非负数的性质先求出x=2,
y =3的值,代入得: (2x-y)2005=12005=1.
【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性.
3.在下列两数之间填上适当的不等号:
________.
【思路点拨】根据“a-b>0,a-b=0,a-b<0分别得到a>b,a=b,a<b”来比较两数的大小.
【答案】 <
【解析】法一:作差法
由于,所以
法二:倒数比较法:因为
所以
【总结升华】比较大小常用的有五种方法,要根据数的特征选择使用.
举一反三:
【变式】比较大小:(1)________0.001; (2)________-0.68
【答案】(1)< (2)>
类型二、有理数的运算
【高清课堂:有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】
4.(1) (2)
(4)
(5)
【答案与解析】(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
(5)
【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧,如:正、负数分别相加;分数中,同分母或分母有倍数关系的分数结合相加;除法转化为乘法、正向应用乘法分配律:a(b+c)=ab+ac;逆向应用分配律:ab+ac=a(b+c)等.
举一反三:
【变式】计算:(1) ;
(2)
【答案】(1)
(2)原式
类型三、数学思想在本章中的应用
5.(1)数形结合思想:有理数a在数轴上对应的点如图所示,则a,-a,1的大小关系.
A.-a<a<1 B.1<-a<a C.1<-a<a D.a<1<-a
(2)分类讨论思想:已知|x|=5,|y|=3.求x-y的值.
(3)转化思想:计算:
【答案与解析】(1)将-a在数轴上标出,如图所示,
得到a<1<-a,所以大小关系为:a<1<-a.
所以正确选项为:D
(2)因为| x|=5,所以x为-5或5
因为|y|=3,所以y为3或-3.
当x=5,y=3时,x-y=5-3=2
当x=5,y=-3时,x-y=5-(-3)=8
当x=-5,y=3时,x-y=-5-3=-8
当x=-5,y=-3时,x-y=-5-(-3)=-2
故(x-y)的值为±2或±8
(3)原式=
【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;分类讨论中注意分类的两条原则:分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“未知”转化为“已知”.
举一反三:
【变式】若a是有理数,|a|-a能不能是负数?为什么?
【答案】 当a>0时,|a|-a=a-a=0;
当a=0时,|a|-a=0-0=0;
当a<0时,|a|-a=-a-a=-2a>0.
所以,对于任何有理数a,|a|-a都不会是负数.
类型四、规律探索
6. (2009·山东聊城)将1,,,,,,…,按一定规律排列如下:
请你写出第20行从左至右第10个数是________.
【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述,然后归纳总结,寻找规律.
【答案】
【解析】 认真观察可知,第1行有1个数,第2行有2个数,第3行有3个数,……,所以第20行有20个数,从第1行到第20行共有1+2+3+…+20=210个数,所以第20行最后一个数的绝对值应是;又由表中可知,凡是分母是偶数的分数是负数,故第20行最后一个数是,以此类推向前10个,则得到第20行第10个数是.
【总结升华】特例助思,探究规律,这类题主要是通过观察分析,从特殊到一般来总结发现规律,并将规律表示出来.