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备注

一、情景创设

    1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?

    2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。

    (1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；

    (3)说出它的顶点坐标和对称轴。

    答案：(1)y＝x²＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－2(1)，顶点坐标为(－2(1)，4(3))。

    3．二次函数y＝ax²＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么?

    [对称轴是直线x＝－2a(b)，顶点坐标是(－2a(b)，4a(4ac－b2))]

二、实践与探索

    例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

    分析：二次函数y＝ax²＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)²＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：

    y＝a(x－8)²＋9

    由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。

    请同学们完成本例的解答。

    练习：书     练习       

    例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

    解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax²＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得9a＋3b＝6(＝2) 解这个方程组，得：b＝8(a＝－2)

  所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x²＋8x－5。

  解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)²＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到2＋k＝－5(3－22＋k＝1)

    解这个方程组，得：k＝3(a＝－2)

    所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)²＋3，即y＝－2x²＋8x－5。

    例3、已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

    解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)²＋k，依题意，得

    y＝a(x－2)²－4

    因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。

    所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)²－4，即y＝2x²－8x＋4。

解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax²＋bx＋c?依题意，得

c＝4(＝－4)解这个方程组，得：c＝4(b＝－8)

    所以，所求二次函数关系式为y＝2x²－8x＋4。

三、课堂练习

    1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。

    解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax²＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到：＝－1(12a－b2) 解这个方程组，得：3(8)

    所以，所求二次函数的关系式为y＝9(4)x²＋3(8)x＋3。

    解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)²＋k，依题意，得

    y＝a(x＋3)²－1

    因为二次函数图象过点(0，3)，所以有

    3＝a(0＋3)²－1解得a＝9(4)

    所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)²－1，即y＝9(4)x²＋3(8)x＋3．

    小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。

    2．已知二次函数y＝x²＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

    简解：依题意，得＝－2(4q－p2) 解得：p＝－10,q＝23

    所以，所求二次函数的关系式是y＝x²－10x＋23。

四、小结

    1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?

    [两种类型：(1)一般式：y＝ax²＋bx＋c

    (2)顶点式：y＝a(x＋h)²＋k，其顶点是(－h，k)

    2．如何确定二次函数的关系式?

    让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。

五、作业

    1．P     习题

    2．选用课时作业优化设计。第二课时作业优化设计

    1. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。

    2．函数y＝x²＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。

    3．若抛物线y＝－x²＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。

    4．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。

    5．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。

    6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?