【校本研修作业】+王小磊/西华县第三高级中学

《函数的单调性》教学设计

【教材分析】

《函数的单调性》是必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，在教材中起着承上启下的作用。一方面，是初中有关内容的深化、提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识；另一方面，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数单调性的理论基础；在解决函数值域与最值、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及。

【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程

【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．

【教学方法】生本导学．

【教学手段】计算机、投影仪．

【教学过程】

一、创设情境，引入课题（利用电脑展示）

1. 如图为某市一天内的气温变化图：

观察图形，回答以下问题：

（1）这一天的最高温度、最低温度分别是多少？

（2） 何时达到最高温度、最低温度？

（3）哪些时段温度升高，哪些时段温度降低？

（4）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况；

（5）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．

〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、探究新知，得出定义

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.

1．观察图象，直观感知

问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？（学生板演）

引导学生从图像变化趋势（从左到右）进行分类描述?(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解从图像角度说一说什么是增函数、减函数?

归纳：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数的图象,你能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？（电脑显示，学生分组讨论）

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．

问题2：对于函数，，判断正误：

(1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2，且12<22,所以在为增函数； ?（）

(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以在为增函数； （）

(3) 任取,因为,即，所以在为增函数．? （）

引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.

3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．

理解概念

判断题：

（1）．

（2）若函数．

（3）若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数．

（4）因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.

通过判断题，强调三点：

（1）单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

（2）对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

（3）函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

三、掌握函数单调性的证法

1.教材37页例1.

2. 教材37页例2.

3．归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数在上是增函数．

四、小结

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1.概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．

2.证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

3. 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．

五、作业

教材40页第4，5题