当前位置 :项目首页 > 优秀成果展示 > 正文

【优秀成果展示】初高中数学1坊——陈瑞红

数学是打开知识大门的钥匙，是整个科学的基础知识。创新教学的先行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。我们选取的都是从学生生活实践中取材，将数学知识巧妙地运用于生活之中，增加了学生对数学的兴趣，实现新课改所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价值观的目标。

数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣，给与每个学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。

我们的数学校本课程方案包括两个基本部分：一般项目和基本具体方案。

 

 

 

 

课程纲要

一、        课程目标：

以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自己的研究成功，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。

二、        课程概况：

    本课程由李红杰、孙艳丽、李丽等老师具体负责实施。

本课程在初一、初二、初三级部实施。

三、        课程内容与活动安排：

让学生体会数学史可发生在我们的周围，我们的生活空间是无穷的数学世界，在课堂上多设情景，应用数学解决问题，让他们充分发挥自己的创造性，感受到数学的乐趣，在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识，从而培养学生良好的学习习惯，观察事物的能力，形成正确的人生观、价值观。

授课对象：初一、初二、初三学生

授课时间：星期三课外活动，一课时。

授课地点：教室

数学校本课程总的内容：

一、     目标：

以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自己的研究成功，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。

一、     课程介绍：

1、生活中的数学

以体会数学与人、自然的关系为切入点，使学生感触学习数学的价值，增强学习数学和应用数学的信心，培养学生动手实践的兴趣;以创设情景形成良性的学习竞争氛围为基础，使学生在一个浓郁的学习气氛中互学互助，每个人都要获得成功，每个人都要进步。

2、          趣味规律数学

数学趣味性和规律性很强，找到一些数学规律，充分发挥学生的创造力，提高学生的逻辑思维能力，掌握数学思想方法，适应时代的需要。

按照学生的认识规律，依据启发性和趣味性相结合的原则，增补动手操作，给学生提供更多的动手机会，重视理论联系实际，扩展教材把数学问题放在社会的大背景下启发学生的思考，让学生走进生活，应用于生活，使学生了解数学知识与社会各方面的联系，以便于学生理解所学的指示，培养学生的实践意识，在趣味性的引导下，学生兴趣盎然，带给学生更多的思索和启发，学生不仅获得数学知识，经过趣味实验，还初步掌握了数学研究的方法，体验到了深究其理和创新实验的乐趣。

3、解决问题的策略

  经历利用特殊情况探索一般规律的过程，经历分情况探讨论的过程，经历将生疏的、繁杂的、未解决的问题转化为熟悉的、简单的、以解决问题的能力，经历用数与形结合的方法解决位的探索过程，经历用整体思想解决问题的探索过程，经历多种策略解决统一问题的探索过程。使学生明确解决一个问题往往可以从不同的角度去考虑，养成善于思考，善于创新，善于用更好地解决问题策略去解决问题的好习惯。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

目录

勾股定理的证明…………………….6

生活中的轴对称…………………  21

探究活动（设计花坛）…………  26

镜子改变了什么……………………27

 

频率与概率……………………28

几何就在你的身边…………   32

一个小数点与一场大悲剧………34

压岁钱”与“赈灾小银行” ……36

建议班级购买一台饮水机……  38

巧用数学看现实………………41

怎样烧开水最快最省煤气………  44

生活中的数学问题………    50
探讨出租车司机的生意经………54

最高的与最矮的……………     57

表面涂漆的小积木的块数………59

抽屉原理和六人集会问题………62

怎样列分式方程解应用题……  65

 

勾股定理的证明

 

【证法1】（课本的证明）

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

， 整理得  .

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c².

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴ .    ∴ .

【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

三角形的面积等于. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c².

∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

∠HEF = 90º.

∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

∴ .

∴ .

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.

∴ .

∴ .

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即   ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

  ∴  .

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90º，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90º，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =.

同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴  ，即 .

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

∠CAD = ∠BAC，

∴  ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

即  .

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 .

∴ ，即 .

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，

∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =

CA = b，AP= a，从而PH = b―a. 

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .

又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，

∴ DGFH是一个边长为a的正方形. 

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

                   ①

∵  = ，

，

∴ =  .     ②

把②代入①，得

=  = .

∴  .

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º，

∴ ∠TBH = ∠ABE.

又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.

∴ HT = AE = a.

∴ GH = GT―HT = b―a.

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90º，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE

= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌

RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 .

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，

∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵  ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，

∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即.

∵ ，，，

又∵ ，，，

∴

=

=，

即 .

【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

=

=

= ，

即，

∴ .

 

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

，

∵ AB = DC = c，AD = BC = a，

AC = BD = b，

∴ ，即 ，

∴ .

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

∴

= = r + r = 2r,

即 ，

∴ .

∴ ，

即 ，

∵ ，

∴ ，

又∵  =  =

=  = ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，      ∴ .

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

假设，即假设 ，则由

==

可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠A = ∠A，

∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则

∠CDB≠∠ACB.

又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，的假设不能成立.

∴ .

【证法15】（辛卜松证明）

 

 

 

 

 

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD.  把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为  =.

∴  ,

∴  .

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，

则 AD = c.

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，

∴ DM = EM―ED = ―a = b.

又∵ ∠CMD = 90º，CM = a，

∠AED = 90º， AE = b，

∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.

∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.

∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，

∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，

∴ ∠ADC = 90º.

∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE  + ∠FAD = 90º，

∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，

∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.

∴ 点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵ AB = BC = c，BF = CG = a，

∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

∵ ，  ，  ，              

 ，

∴

=

=

=

∴  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

生活中的轴对称

我们生活在一个充满对称的世界之中，对称给人以平衡与和谐的美感。这节课先来认识生活中的轴对称。1、欣赏生活中的轴对称图片。

 

 

 

 

（以生活中尽可能多的丰富实例，让学生欣赏并体会轴对称图形，发展学生审美能力、鉴赏能力）

2、观察特点、形成概念

[问题1]：这些美丽的图形来自生活，细心观察之后，你能发现这些图形有什么共同特征么？用自己的语言描述。

（鼓励学生积极用自己的语言概括图形的共同特征。）

[问题2]：举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴交流。

（给学生一定的思考交流时间，鼓励学生从自己的生活经验出发，列举符合对称特征的物体，并进行广泛交流，进一步体会轴对称图形的特点。）

板书轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线就叫做这个图形的对称轴。

你能自己动手做出一些具有轴对称特征的图形么?

1、做教材中的“剪纸”活动。

 = 1 \* GB3 ① 把一张纸对折，然后从折痕处剪出一个图形，想一想展开后会是一个什么样的图形。

 = 2 \* GB3 ② 观察图案，位于折痕两侧的部分有什么关系，并与同伴交流。

2、作“印墨迹”实验。

 = 1 \* GB3 ① 在纸上滴几滴墨水，把纸张对折，随后打开，看看形成的两块墨迹是不是关于折痕对称？它的对称轴是什么呢？

 = 2 \* GB3 ② 观察探究、相互交流。

（动手实践、自主探索与合作交流是学生进行有效的数学学习活动的重要方式，在教学中，注重学生的活动，鼓励人人亲身经历与实践，积极思考，更体会活动的乐趣，培养学生的空间观念、动手能力。）

3、类比观察，发现区别

 = 1 \* GB3 ① 再向学生展示几组图案，如：两扇门、两只小脚印等。

 = 2 \* GB3 ② 观察每组图案，你发现了什么？与大家交流。

（在学生的发现中，使学生进一步体会轴对称现象的特点，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别，学生理解即可，暂不深究。）

把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果他能够与另一个图形重合，就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

轴对称图形和两个图形成轴对称的区别：

两个图形成轴对称	轴对称图形
是两个图形之间的关系	是一个图形本身具有的特性
翻折后两个图形完全重合	对折后与图形的另一半完全重合

1、你能将我手中的图片沿某条直线对折，使直线两旁的部分完全重合么？

（鼓励学生自己寻找对称轴，再动手操作验证，将活动内容转向对对称轴的探索。）

2、你能折出准备好的每一个图形的对称轴么？

（让学生把自己手中准备好的正方形、长方形、等腰三角形、圆等图片试着从不同方向折一折，看看各有几条对称轴。）

综合练习、巩固应用、课外拓展

1、请采用任意一种方式（剪纸、印墨迹等）自己设计一个具有特色的轴对称图形。

（鼓励学生发挥想象，进行不同的创作。）

2、生活中的轴对称图形随处可见，我们每天使用的数字、字母和汉字中也有一些可以看成是轴对称图形，你能识别它们么？并能说出他们的对称轴么？

(1)下面的数字或字母里，哪些是轴对称图形？他们各有几条对称轴？

0123456789

ABCDEFGHIJK

(2)你能发现哪些汉字可以看成是轴对称图形么？

口工用中由水日甲田

（体会生活中无处不在的轴对称现象，共同品味中国文字的对称美，弘扬中国文化。

中考中的轴对称

  例1  （2006年无锡市）在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（　　）

  解析：本题主要考查轴对称图形的识别：一个图形如果沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则可判定该图形是轴对称图形。观察四个图形，易知只有B中图案不是轴对称图形。

  二、确定轴对称图形的对称轴的条数

  例2 （2006年泰安市）下列轴对称图形中，对称轴最多的是（　　）

Ａ．

Ｃ．

Ｄ．

 

 

 

  解析：A中图形对称轴有4条，B中图形对称轴有6条，C中图形对称轴有3条，D中图形对称轴有2两条，故对称轴最多的应选B.

三、有关轴对称的图案设计

例3   （2006年荣成市）图1是由5张大小相同的正方形纸片拼成的图形.现只移动1张纸片,使5张纸片组成轴对称图形,要求每张纸片至少有2个点与其余纸片相连,但

纸片彼此不覆盖,请画出尽可能多的不同形状的图形.                            

  解析：借助空间想象或动手操作，可画出下列图形供参考。

	图1

 

 

   

	图2

 

 

  四、利用轴对称的性质解题

  例4  （2006年梅州市）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（　　）

A．

B．

C．

D．

 

 

 

 

解析：平面镜成像的原理：镜子中的像与原来的物体成轴对称；物体正对镜子放置时，镜子中的像改变了原来物体的左、右位置，即像与物体左、右位置互换 。故实际时间最接近8时的是图中的B.

例5  （2006年永春县）如图3，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分

别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AE D′=        度。

  解析：因为AD∥BC,所以∠EFB=∠DEF=65⁰,由轴对称性质得∠DEF=∠D´EF＝65⁰。

所以∠AED´=180⁰-∠DEF=∠D´EF = 180 ⁰ -65⁰ -65 ⁰  =50 ⁰.

                                            探究活动

设计花坛

　　活动题目

　　有一块边长为10米的正方形的空地，现在要在空地上设计一个花坛，使花坛的面积是空地面积的二分之一，问如何设计？

　　活动过程

　　1．学生以小组为单位，分小组讨论．

　　2．学生分小组汇报．

　　3．全班共同评选最佳设计．

　　参考答案

 

 

 

 

镜子改变了什么

一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把2+3=8变成一个真正的等式”，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题，你知道为什么吗？

问题的提出：“小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“          ”的样子，请你判断这个英文单词是什么？假若不能利用手中的小镜子，只利用小卡片，如何把镜中的字母还原？分组讨论，比一比那一组的结论最好？

与同伴交流，一个汽车车牌在水中的倒影是“”，你能确定该车的车牌号码吗？（利用手中的小卡片，并说出倒影与车牌的位置关系）小结：当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向，所以可以把影象写在卡片上，向上翻转九十度背面所看到的就是本题的答案。

【试一试】:

取一枚图章，在纸上改一个清晰的印记，分析印章上的图案有什么异同，你能利用萝卜块或橡皮刻字，使其印在纸上的图案是你的姓名。

总结：

当正对镜面摆放时，镜面会改变它的左右方向；当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向；如果是轴对称图形，当对称轴于镜面平行时，其镜中影象与原图一样。

 

 

《频率与概率》

问题引入：对于前面的摸牌游戏， 在一次试验中，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌的数字为几的可能性大？如果摸得第一张牌的牌面数字为2呢？（由此引入课题，然后要求学生做实验来验证他们的猜想）

做一做：

       实验1：对于上面的试验进行30次，分别统计第一张牌的牌面字为1时，第二张牌的牌面数字为1和2的次数。

       实验的具体做法：每两个人一个小组，一个负责抽纸张，另一个人负责记录，

       如：1  2  2  1­­­­---------(上面一行为第一次抽的)

           2  1  2  1---------（下面一行为第二次抽的）

议一议：

小明的对自己的试验记录进行了统计，结果如下：

第一张牌的牌面 数字为1（16次）

第二张牌的牌面 数字为1（7次）

第二张牌的牌面 数字为2（9次）

 

 

 

 

 

 

 

 

因此小明认为，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌时，摸得牌面数字为2的可能性比较大。你同意小明的看法吗？

让学生去讨论小明的看法是否正确，然后让学生去说说自已的看法。

想一想：

对于前面的游戏，一次试验中会出现哪些可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？

小颖的看法：

会出现3种可能的结果： 牌面数字和为2，牌面数 字和3，牌面数字和4，每 种结果出现的可能性相同

会出现4种可能的结果： 牌面数字为（1，1）， 牌面数字为（1，2）， 牌面数字为（2，1）， 牌面数字为（2，2） 每种结果出现的可能性相同

 

 

 

 

 

 

小亮的看法：

 

 

 

 

实际上，摸第一张牌时，可能出现的的结果是：牌面数字为1或2，而且这两种结果出现的可能性相同；摸第二张牌时，情况也是如此，因此，我们可以用下面的“树状图”或表格来表示所有可能出现的结果：

     开始

1

2

 

第一张牌的面的数字：    

	1
					2

2

1

 

第二张牌的牌面数字：       

可能出现的结果（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）

第二张牌面的数字第一张牌面的数字	1	2
1	（1，1）	（1，2）
2	（2，1）	（2，2）

从上面的树状图或表格可以看出，一次试验可能出现的结果共有4种：（1，1）（1，2）

（2，1）（2，2），而且每种结果出现的可能性相同，也就是说，每种结果出现的概率都是1/4。

利用树状图或表格，可以比较方便地求出某些事件发生的概率。

例1：随机掷一枚硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是多少？

总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，而至少有一次正面朝上的结果有3种：（正，正）（正，反）（反，正），因此至少有一次正面朝上的概率为3/4。

第二种解法：列表法

第二个硬币的面 第一个硬币的面	正	反
正	（正，正）	（正，反）
反	（反，正）	（反，反）

随堂练习：

1．              从一定高度随机掷一枚硬币，落地后其朝上的一面可能出现正面和反面这样两种等可能的结果。小明正在做掷硬币的试验，他已经掷了3次硬币，不巧的是这3次都是正面朝上。那么你认为小明第4次掷硬币，出现正面的可能性大，还是出现反面的可能性大，是不是一样大？说说你的理由，并与同伴进行交流。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

几何就在你的身边

初学几何时，你往往会感到这门学科枯燥乏味，有的知识似曾相识，似懂非懂；有的知识则似乎很“玄”，离我们很远!其实，日常生活中有几何，几何就在你的身边。

当你骑自行车时，想过自行车的轮子为什么是圆形的，而不能是“鸡蛋形”的呢?因为“圆”形的特性可以使自行车平稳地前进；自行车的轮于有大有小，可供人们选择；两个 轮子装的位置必须装得恰当，骑时会感到方便。这说明：物体的形状、大小、位置关系与日常生活有着紧密的联系，这也正是几何这门学科所要研究的。

当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时，你想过这里面有几何知识吗?

几何中叫“比较线段的大小；把阴影部分裁去，可以看成在“长”上截取一段，使它等于“宽”，这就是几何中的“线段作图”；长方形的长与宽相等时，就是正方形，这更是几何中的一个重要结论。

如果把正方形折成相等的两部分，除了图2中所示的四种折法外，你还能想到其他的折法吗?不妨试试：过四条折痕相交的那个点“· ”，任意地折一条线，看看这样把正方形分成的两部分也一样吗?

当你走进用砖块铺地的房间时，你注意到这些砖块的形状吗？有的是等边三角形的，有的是长方形或正方形的。

其实，任意形状的四边形砖块也能把地面拼得没有缝隙，请看图3 。

这又将告诉我们几何中的一个重要结论(四边形的四个角的大小之和恰好等于360度)，这个结论，与小学数学里学过的“三角形的三个角之和等于180度°又有着紧密的联系。

如果有兴趣的话，请你剪两块同样的直角三角形纸片，然后把两块纸片拼合成一个图形，你能拼出6种不同的图形吗？这里又包含了许许多多的几何知识。比如，当你拼成一个等腰三角形时，就不难知道：等腰三角形可以分成两个同样的直角三角形，中间的那条线位置很特殊，今后研究等腰三角形时常常要用到它！

 

 

 

 

一个小数点与一场大悲剧

    1967年8月23日，前苏联著名宇航员费拉迪米尔?科马洛夫一个人驾驶着“联盟一号”宇宙飞船的返航实况。当飞船返回大气层后，科观洛夫无论怎么操作也无法使降落伞打开以减慢飞船的速度。地面指挥中心采取了一切可能的措施帮助排除故障，但都无济于事。经请示中央，决定将实况向全国人民公布。电视台的播音员以沉重的语调宣布：“‘联盟一号’飞船由于无法排除故障，不能减速，两小时后将在着陆基地附近坠毁 。我们将目睹宇航英雄科马洛夫遇难。”

　　科观洛夫的亲人被请到指挥台，指挥中心的首长通知科马洛夫与亲人通话。科马洛夫控制着自己的激动：“首长，属于我的时间不多了我先把这次飞行的情况向您汇报……”。生命在一分一秒中消逝，科马洛夫目光泰然，态度从容，他整整汇报了几分钟。汇报完毕， 国家领导人接过话筒宣布：“我代表最高苏维埃向你致以崇高的敬礼，你是苏联的英雄，人民的好儿子……”当问及科马洛夫有什么要求时，科马洛夫眼含热泪：“谢谢，谢谢最高苏维埃授予我这个光荣称号，我是一名宇航员，为祖国的宇航事业献身我无怨无悔！”

　　领导人把话筒递给科马洛夫的老母亲，母亲老泪纵横，心如刀绞，泣不成声。她把话筒递给科马洛夫的妻子。科马洛夫给妻子送来一个调皮而又深情的飞吻。妻子拿着话筒只说了一句话：“亲爱的，我好想你！”就泪如雨下，再也说不出话来了。科马洛夫12岁的女儿接过话筒，泣不成声。科马洛夫微笑着说：“女儿，你要坚强，不要哭。”“我不哭，爸爸，你是苏联的英雄，我是你的女儿，我一定会坚强地生活。”刚毅的科马洛夫不禁落泪了，他叮嘱孩子“要记住这个日子，以后每年的这个日子要到坟前献一朵花，向爸爸汇报学习情部。”

　　永别的时刻到了──飞船坠地，电视图象消失。整个苏联一片肃静，人们纷纷走向街头，向着飞船坠毁的地方默默地哀悼。

　　同学们，读到这里，你是否被这悲壮的场面所感染了！“联盟一号”当时发生的一切，就是因为地面检查时，忽略了一个小数点。让我们记住这一个小数点所酿成的大悲剧吧！让我们以更加严谨的态度对待学习和科学，以更加认真的态度对待工作和生活吧

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

压岁钱”与“赈灾小银行”

     在正月里，长辈们每年都会给我们压岁钱。而大多数同学都把压岁钱存入了银行。为了能帮助失学獐，我建议我们景山中学办一个“赈灾小银行”，要求同学们有多少钱存多少钱，存入学校里“赈灾小银行”，学校统一将同学们的压岁钱存入银行。毕业时本金还给同学们，利息捐给经济有困难的同学或灾区。

　　从小到现在，我们收了十来年的压岁钱大概有2000元，假如平均每年按照200元存入银行，初中三年每个学生总共存入600元计算，我们景山中学高中不算，初中24个班级，初一、初二、初三各8个班，每班按60人计算，初三的存一年，初二的存两年，初一的存三年，年利率分别按2.25%、2.40%、2.60%（人民银行利率）计算，则：

　　初一段学生存三年的利息和：

　　（200×2.60%×3)×(60×8)=7488(元)；

　　初二段学生存二年的利息和：

　　（200×2.40%×2)×(60×8)=4688(元)；

　　初二段学生存二年的利息和：

　　（200×2.25%×1)×(60×8)=2700(元)；

　　 一年全校利息合计：

　　7488+4608+2700=14796（元）。

　　假设学校第年招生班级以及人数都不变，则学校每年都有14796元利息，温州市有那么多所中学，假如每所中学都建立小银行，或许他们利息和还会超过我校，假如小学也建立小银行，那么，每个学生五六年下来，每年全校利息和将比中学利息和要高上好几倍。所以在小学成立“赈灾小银行”更有意义与必要。为了灾区儿童有良好的读书环境，为了国家更繁荣，昌盛，同学们行动起来吧，拿出你们的压岁钱，奉献我们的一片爱心。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

建议班级购买一台饮水机

在炎炎夏日里，同学们遇到的难事就是饮水问题，为了使同学们过一个卫生清洁的夏季，班级决定出钱买一台饮水机，而每人又应出多少钱呢？即使买了饮水机，是否比过去每个学生每天买矿泉水更节省、更实惠？下面就来解答这个问题。
  
一、学生矿泉水费用支出

　　温州市景山中学共有37个班级，假设每班学生平均为60人，那么全校就有60×37=2220（人）。一年中，学生在校的时间（除去寒暑假双休日）大约为240天，设春季、夏季、秋季、冬季、各为60天，在班级没有购买饮水机时，学生解渴一般买矿泉水，设矿泉水每瓶为一元，学生春秋季每人二天1瓶矿泉水，则总共为60瓶。夏季每人每天1瓶，则总共也为60瓶，冬季每人每4天1瓶，总共为15瓶，则全年平均每名学生矿泉水费支出：

                  60+60+（60÷4）×1=135(元)；

　　全班学生矿泉水费用

                   135×60=8100(元)；

　　全校学生矿泉水费用

                   8100×37=299700(元)；

二、使用饮水机费用

　　一台冷热饮水机的价格约为750元，1字牌大桶矿泉水为每桶10元，现每班都配备饮水机。设每班春、季两季、每2天1桶，则需60桶，夏季每天2桶，则需120桶，冬季每6天1桶，则每班需20桶，则一学年每班需要“60+120+20=200（桶），一学生每班水费为200×10=2000元。

　　电费折合为每学年每班为300元。

　　则一学年配置饮水机每班水电费2300元。所以，一学年每班饮水机等合计约为

　　2300+750÷3=2550元；

　　每个学生平均一学年的水电费为

　　2500÷60=42.5元；

　　景山中学全校全年饮水机等费用约为

　　37×2550=94350元；

　　显然，通过计算，比较两项开支费用，各班购买一台饮水机要经济实惠得多，一学年每个学生可以节省：135-42.5=92.5元；

　　每个班一学年可节省：

                             92.5×60=5550元；

　　全校一学年可节省：

                             5550×37=205350元。

　　205350元，一个了不起的数据，而我们每天又可以喝上卫生清洁、冷暖皆宜的饮水机的矿泉水，等我们毕业时还可以把饮水机赠给下届同学，何乐而不为呢？我向温州小学提出倡议：在每个教室里配一台饮水机。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

巧用数学看现实

在现实生活中，人们的生活越来越趋向于经济化，合理化．但怎样才能达到这样的目的呢？

　　在数学活动组里，我就遇到了这样一道实际生活中的问题：

　　某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖 10000元 1名，一等奖1000元 2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售。请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给销费者的实惠大？

　　面对问题我们并不能一目了然。于是我们首先作了一个随机调查。把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以。调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？

在实际问题中，甲商厚每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制。所以我们认为这个问题应该有几种答案。
　　　　一、苦甲商厦确定每组设奖，当参加人数较少时，少于213（1十2＋10＋200=213人）人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客。

二、若甲商厦的每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相应的小。因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共 14000元（10000＋ 2000＋ 1000＋1000=14000）。假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为 280000元（ 14000 ÷ 5％=280000）。

　　所以由此可得：

（l）当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多。

（2）当两商厦的营业额都不足 280000元时，乙商厦的优惠则小于 14000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是 14000元，优惠较大。

（3）当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的实惠大。

像这样的问题，我们在日常生活中随处可见。例如，有两家液化气站，已知每瓶液化气的质和量相同，开始定的价也相同。为了争取更多的用户，两站分别推出优惠政策。甲站的办法是实行七五折错售，乙站的办法是对客户自第二次换气以后以7折销售。两站的优惠期限都是一年。你作为用户，应该选哪家好？

这个问题与前面的问题有很大相同之处。只要通过你所需要的罐数来分析讨论，这样，问题便可迎刃而解了。

随着市场经济的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩。买与卖，存款与保险，股票与债券，……都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学，利比和比例，利息与利率，统计与概率。运筹与优化，以及系统分析和决策，都将成为数学课程中的“座上客”。
　　作为跨世纪的中学生，我们不仅要学会数学知识，而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题．这样才能更好地适应社会的发展和需要

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

怎样烧开水最快最省煤气

     老师说过，有人对家庭煤气的使用量做了研究，并且提出节省煤气的方案，我们觉得很意思，就利用业余时间在家里做了测量烧开水所需煤气量和所需时间的实验。　　

　　一、实验过程　　

　　我们仔细观察现在家庭使用的电子打火煤气灶，发现当关着煤气的时候，煤气旋钮（以下简称旋钮）的位置为竖置方向，我们把这个位置定为0°，煤气开到最大时，位置为90°

　　（以0°位置作起始边，旋钮和起始边的夹角）。我们在0-90°中间平均分成五等份，代表不同的煤气流量，它们分别是18°，36°，54°，72°，90°，见图1。

　　图1

不同旋钮位置示意图

　　我们在这5个位置上，分别以烧开一壶水（3.75升，注入满瓶1.25升可乐瓶的水即可）为标准，记录所需的时间和所用的煤气量，数据见表1。

　　二、处理数据

　　煤气旋钮在不同位置时烧开一壶水（3.75升）所需的时间及煤气量

　　表1

根据旋钮位置，以及煤开一壶水所需时间（用S表示）、所用煤气量（用V表示），我们可以算出不同旋钮位置所代表的煤气流量（用L表示）。结果如下：L=V/S。

 

 

　　旋钮的不同位置所代表的煤气流量

表2

 　　从上表可以看出，当旋钮开得越大时，代表流量（单位时间内从煤气阀门内流出的煤气量也越大。这样我们就可以来考虑煤气流量和烧开一壶水所需的时间及用气量之间的关系了。

 

　　图2　煤气流量和烧开一壶水所需煤气量关系图

　　图3　煤气流量和烧开一壶水所需时间关系图

　　　从图2中可以看出，在5个不同流量的位置上，流量最大（0.017200／分钟）时，耗用的煤气量也最多为0.172。但是当流量最小（0.006842＝/分钟）时，耗用的煤气量并不是最小值，为0.130／分钟。流量为0.007625’／分钟时，即旋钮位置在36°时，烧开一壶水所耗用的煤气量为最少，为0.122。因此，根据图2各点的变化趋势，我们可以推测，烧开一壶水最省煤气的位置应该在18°一54°之间，靠近36°附近。

　　从图3中可以看出，在5个不同流量的位置上，流量最大时，最节省时间，所需时间为10分钟，流量减小，所需时间则延长，最长时间为19分钟。因此，如果不考虑煤气的用量，把煤气旋钮开到最大90°时，最省时。　

　　三、结论及对结论的分析

　　通过我们的实验，可以知道，用煤气烧水，最省时和最省气不能同时做到。　　

　　最省时的位置是流量最大的位置。

　　最省气的位置不是流量最小的位置，而是在0.006842－0.007625/分钟即18°－54°之间的位置上，靠近36°附近。

　　四、体会

　　1．在做本次实验之前，我们曾经在0—90°之间只选取了3个位置来做实验，即火量最小的时候、适中的时候和最大的时候，并且没有准确的度数．所以，在进行数据分析时，不易进行，也不好画图，后来，在老师的启发下做了上述较准确的实验，并得出结论。　　

　　2．为了保证每次烧开水时，壶的起始温度一致，我们在做第一个位置18°时，预先将实验用壶烧同量的开水，并倒掉，然后再开始实验．这在最早实验时也没考虑，因为预热关系到结果的准确性．

　　3．学数学并不是那么难．在处理数据时，老师说，你可以考虑用图表示，我们想起近两年报纸上经常用两个垂直的数轴的图来说明一些事情的发展变化，就试着用它（后来老师说这叫直角坐标系和函数图象，是初三年级的数学知识），并做出了分析．现在，我们感到三年级的知识也没有什么，并且觉得数学很有意思．　　

　　4．在做实验之前，我们想象通气量越小越省煤气，但通过实验及分析发现事实并非如此．细一琢磨，如果通气量特别小，对壶体作用的温度不足100°C，那一辈子也烧不开水．所以，我们体会到下结论不能想当然，应该更信赖科学．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

生活中的数学问题

       1、钟面上有1、2、3、4、…… 11、12共十二个数

       (1)试在某些数的前面添加负号，使它们的代数和为零。

       (2)能否改变钟面上的数，比如只剩下六个偶数，仍按第(1)小题的要求来做;

       (3)请试着改变第(1)小题，使它更加有趣一些。如：哪些时间里分针与时针所夹的那些数的前面添加负号，钟面上的各数的代数和就为零;

      (4)在解上述各题的过程中，你能总结出一些什么规律？

     2、1)每位同学发一张８开的白纸，然后叫同学沿纸的长边对折成16开的纸，再将16开纸对折成32开纸，通过测量和计算回答下列问题
     Ａ．８开纸和16开纸的形状相关相似吗？
     Ｂ．16开纸和32开纸的形状相似吗？
     Ｃ．猜想：如果将纸的对折操作继续进行下去，那么得到的16开、32开、64开……、_２^K开（Ｋ为自然数），纸都相似吗？

          (2)要使一个矩形纸沿长边对折后仍同原来纸的形状相似，那么该纸的长和宽之比为多少？

          (3)翻开你手中教材的第一页或最后一页，找出纸张的开数，如“开本787×1024　1／16”或“开本850×1168　1／32”计算纸的长和宽之比，试问

Ａ．纸的长和宽之比是否同1.414很接近？并解释误差的原因。　

Ｂ．试讨论如此设计纸张大小的好处是什么？进而，造纸厂生产纸时，如何设计纸的大小为最优？

 

3、 某顾客有10元钱，第一次在商店买Ｘ件小商品花去Ｙ元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他比第一次多买了10件，花去２元。问他第一次买的小商品是多少件？（设Ｘ、Ｙ为整数）。

 

4、百货公司的一页帐簿上沾了墨，关于1月13日出售气压热水瓶。只知道单价及金额后面的三个数码是7.28，数量与金额前面的三个数码都看不清了，请你帮助查清这笔帐。

月	日	摘要	数量（只）	单价（元）	金额（元）
1	13	气压热水瓶		49.36	7.28

5、 有一块长4厘米宽3厘米的园地，现要在园地辟一个花坛，使花坛的面积是原园地面积的一半，问如何设计？

6、 缝纫师傅想用一块三角形的布料剪出一块面积最大的正方形方巾，现在他手中只有一把剪刀，问他应该如何剪？

7、 小王年初向建设银行贷款2万元用于购房，商定年利率为10%，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），若这笔借款分15次等额归还，每年1次，15年还清，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少钱（精确到1元）？8、 一张纸片，第一次将其撕成四片，以后，每次将其中的一片撕成更小的四片。

如此进行下去，试问（10撕5次，共有多少张纸片？（2）撕8次、10次各有多少张纸片？（3）撕n次，共有多少张纸片？（4）撕成22张，需撕几次？（5）能否将纸片撕成1993片？为什么？

9、在一条直线的流水线上，依次在A₁、A₂、A₃、A₄、A₅有5个机器人在工作，现欲设一零件供应点，问应设于何处，可使5个机器人与它的距离总和为最小。如果是6个机器人，则怎样？一般地，n个机器人的情况下，又应如何设置？

          |       |         |             |

A₁      A₂       A₃          A₄                    A₅   

10、 2006年暑假，小明每天在家都看电视，周一至周五每天看3小时，周六、周日每天看5小时。（暑假是从7月21日正式开始。）

（1）请问小明八月份这个月里共看了多少时间的电视？（大家都知道新学期上学的这一天9月1日是星期五，八月份有31天。）

（2）如果小明每天睡觉时间为8小时，并且睡觉比看电视所多出来的时间正好是小明在八月里学习所用的时间。小明在假期里学习，有时一天4小时，有时一天5小时，请问小明一天学5小时的天数共有多少天？

（3）请同学们结合上面的问题再编写出其它问题。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

探讨出租车司机的生意经

　　一、问题的提出

　　改革开放二十年来，温州经济得到了迅速发展，老百姓的生活水平有了很大的提高，外出乘车“打的”已是相当普通的现象，出租车业的迅速发展，也从一个侧面证明温州经济的腾飞。车型从80年代的菲亚特、90年代奥拓，到现在的富康车；数量上从无到有，从少到多，到现在市区约有的4000多辆；起步价从原来5元（每四公里5元）到现在的10元，可以说出租车行业经历了一个健康、快速的发展过程。

　　温州人离不开出租车，但温州市区面积仅计三十几平方公里（现市区范围的规划正拓宽），加上道路狭窄，出租车司机常感叹生意难做。在市内营运时，为了避开乘车高峰期，司机们有时都要绕道而行，跳长途时，个别司机为了节省10元钱道路建设费，不惜被曝光、罚款的代价，想方设法“逃票”。面临如此窘境，作为业外人士我常想，到底如何营运才能使出租车司机获得最佳经济效益呢？

　　二、问题的调查与分析

　　温州现有出租车约4000辆，部分出租车愿意在机场，车站、码头、宾馆等固定的出租点接客，他们认为这样比在路上跑车接客相对轻松并且效益好些。为了提高出租车单车的运营效益。假设每辆车是24小时运营，司机可以轮换。经过调查，这些司机平均每天可接到四趟远途客，每次120元，总共花时约4小时，总收人为480元，在剩余的20小时，在市内出租点营业，平均每次等客5分钟，送客20分钟，返回15分钟，合计每40分钟做一次市内生意，一次市内生意为10元，则在固定站接客一天总收入为：

　　120×4＋20（小时）×1．5次／小时×10元／次=780元。

　　出租车跑的路程：长途返回每次平均为60km。市内返回每次为8km，

　　所以总营运里程为60×4＋30×8—480km。

　　假如全部在市内跑车接客，调查结果为空载跑车5分钟，接送客15分钟，平均每20分钟做一次市内生意，合计一天营业额为：

　　24（小时）×3次／小时×10元－720元。

　　出租车在市内跑平均每次5km，一天跑

　　24×3—72次，则一天总营运里程为72×5km=360km。

　　由此可以看出，大部分司机在申请到出租站点停车的条件下，总是愿意在出租站点接客，除了每天多赚钱14元外，另外每小时比跑车接客还可以多休息20分钟。

　　另一方面，由于出租车站点接客和跑车接客路程不同，油费也不同，现列表加以说明

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

最高的与最矮的

班上有64位同学，身高都有一些微小差异。让他们排成8行8列的方阵。如果从每一行8位同学中挑出一位最高的，那么在挑出的8位同学中一定有一位最矮的同学A。让这些同学回到各自原来的位置站好后，再从每一列8位同学中挑出一位最矮的，那么在挑出的8位同学中一定有一位最高的同学B。且假定A与B是不同的两个人，你看他们谁高？

　　这是一个很有趣的问题，但要做出满意的回答，却需动动脑筋。首先遇到的问题是A、B两位同学的位置无法确定，更何况64人排成8行8列的方阵，其排法又何止万千！

　　但是，问题真的那么复杂、那么难以解决吗？数学的方法可以为你帮很大的忙。

　　A、B两位同学在方阵中的位置，不外乎以下几种情况：

　　（l）A与B在同一行。

　　这时，A是从这一行中挑出的最高的，所以A比B高；

　　（2）A与B在同一列。

　　这时，因为B是从这一列中挑出的最矮的，所以还是A比B高；

　　（3）A与B既不同行，也不同列。

　　如下图所示，我们总可以找到一个A所在的行与B的在的列相交的位置，假定排在这个位置上的是同学C，则按题目的规定，A比C高，所以仍然是A比B高。

综上所述，不论哪种情形，A总比B高。

问题竟如此轻松地解决了！而解决问题的方法将给你留下难忘的印象。这种方法，我们称之为分类的方法，其实质就是根据题设的条件，把该问题所要讨论的各种可能出现的情况适当地划分为若干部分，然后对各个部分分别进行讨论，最后把问题解决。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

表面涂漆的小积木的块数

一块表面涂着红漆的大积木（正方体），被锯成8块大小一样的小积木，则这些小积木的三面漆有红漆，另外三面没有漆。

　　如果这块大积木被锯成27块大小一样的小积木，那么，这些小积木中，

　　（1）三面涂漆的有几块？

　　（2）两面涂漆的有几块？

　　（3）一面涂漆的有几块？

　　这时，就不能再用把积木锯开的办法来回答问题了。但只需认真观察一下，你就能发现，把正方体锯开以后，只有位于正方体八个角上的那些小积木，是三面涂漆的。也就是说，三面涂漆的小积木的块数，等于正方体的顶点数，有8块；

　　两图涂漆的那些小积木，位于正方体的两个面的交界处，但不在正方体的角上（即顶点处）。在棱AD上。那块涂有阴影的小积木，就是两面涂漆的。因此，只需首先确定正方体的某条棱上出现的两面涂漆的小积木的块数，而正方体有12条棱。于是，立即可以求得，两面涂漆的小积木的块数为

　　1块×12=12块；

　　一面涂漆的小积木，位于正方体每个面的中心部位。即不在正方体的顶点处也不在棱上。如图2中，在面，那个以EFGH为一个面的小积木。因此，只需首先确定正方体的某一个面上出现的一面涂漆的小积木的块数，而正方体有6个面。于是可得，一面涂漆的小积木的块数为

　　1块×6=6块。

　　通过观察，找出解决问题的规律，是学习数学的重要任务之一。这样，就能运用数学知识迅速而又有效地解决实际问题。根据上面归纳出来的分析方法，即使把这个正方体锯成更多的小积木，我们也能轻松地回答类似的问题。例如，我们进一步提出：如果把这个正方体锯成64块大小一样的小积木，那么，三面涂漆、两面涂漆和一面涂漆的小积木各有多少块？

　　显然，三面涂漆的仍然只有8块；

　　因为，如图3，在棱AD上，两面涂漆的小积木有两块，所以共有两面涂漆的小积木

　　2×12=24块；

　　类似地，可以看出，面ABCD的中心部位有4个小正方形，它们既不在正方体的棱上，也不在顶点处（图上阴影部分）。因而，在这个面上相应地可以得到4个只有一面涂漆的小积木。所以，一面涂漆的小积木共有

　　4×6=24块。

　　想一想，如果把这个正方体锯成的小积木的块数更多一些（如125块），你能算出涂漆面数不同的小积木的块数各是多少吗？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

抽屉原理和六人集会问题

“任意367个人中，必有生日相同的人。”

　　“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”

　　“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”

　　......

大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为：

　　“把m个东西任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”

　　在上面的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，...，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。

　　抽屉原理的一种更一般的表述为：

　　“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”

　　利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。

　　如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：

　　“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”

　　抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

　　1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：

　　“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”

　　这个问题可以用如下方法简单明了地证出：

　　在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。

六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

怎样列分式方程解应用题

列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验。这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的增根；第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义。

下面介绍怎样找等量关系从而列出分式方程进行解决几种常见的实际问题。

一、路程问题

这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。它们的数量关系是：路程=速度*时间。列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。

例1  某校学生到离校15千米的科技馆去参观。男同学骑自行车出发2/3小时后，女同学才乘汽车前往，结果男、女同学同时到达。如果汽车的速度是自行车速度的3倍，那么自行车和汽车的速度各是多少？

分析：本题中的等量关系是

男同学所用的时间-2/3小时=女同学所用的时间               

如果设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3 x 千米/小时，男同学所用的时间为15/x小时，女同学所用的时间为15/3x小时，由此我们可列出方程。

解：设自行车的速度是x千米/小时，则汽车的速度是15/3x千米/小时，根据题意，得

              15/x-2/3=15/3x

    解这个方程，得

                  x=15

    经检验，x=15是原方程的根。

    ∴ 3x=3*15=45（千米/小时）

答：自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度是45千米/小时。

[练一练]1、A、B两地相距60千米。甲骑自行车从A地出发到B地，出发1小时后，乙骑摩托车也从A地出发到B地，且比甲早到3小时。已知乙的速度是甲的3倍，求甲、乙的速度。

二、工程问题

这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。它们的数量关系是：工作量=工作效率*工作时间。列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。

例2  某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成。已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍。甲、乙单独完成这项工作各需多少天？

分析：本题中的等量关系是

        甲的工作量+乙的工作量=总工作量

如果设甲单独完成这项工作需要x天，则乙单独完成这项工作需要 2x天。甲完成的工作量是 3/x,乙完成的工作量是4/2x，由此我们可列出方程。

解：设甲单独完成这项工作需要x天，则乙单独完成这项工作需要2x天，根据题意，得

                  3/x+4/2x=1

      解这个方程，得

                    x=5

      经检验，x=5是原方程的解。

      ∴ 2x=2*5=10(天)

  答：甲单独完成这项工作需要5天，乙单独完成这项工作需要10天。

  这道题还可以根据等量关系：甲、乙合作完成的工作量+乙单独完成的工作量=总工作量来列方程。同学们可以自己试一下，看能否解出来。

[练一练]2、某校八年级（一）班和（二）班的同学，在双休日参加义务植树的社会实践活动。已知（一）班比（二）班每小时多植树20棵，（一）班植树660棵所用的时间与（二）班植树600棵所用的时间相等。（一）、（二）两班学生每小时各植树多少棵？

三、销售问题

销售问题是近几年来新增加的题型，解决这类问题，首先要弄清一些有关的概念：

商品的进价：商店购进商品的价格；

商品的标价：商店销售商品时标出的价格；

商品的售价：商店售出商品时的实际价格；

利润：商店在销售商品时所赚的钱；

利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；

打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率。

其次，还要弄清它们之间的关系：

商品的售价=商品的标价*商品的打折率；

商品的利润=商品的售价-商品的进价；

商品的利润率=商品的利润/商品的进价。

在解决这类问题时，我们只要运用这些关系就能正确求解。

例3  某超市销售一种钢笔，每枝售价为12元。后来，钢笔的进价降低了4%，从而使超市销售这种钢笔的利润率提高了5%。这种钢笔原来每枝进价是多少元？

分析：本题中的主要等量关系是

        进价降低前的利润率+5%=进价降低后的利润率

如果设这种钢笔原来每枝的进价为x元，那么进价降低前的利润率为(12-x)/x，进价降低后的利润率为[12-(1-4%)x]/(1-4%)x，由此我们可以列出方程。

解：设这种钢笔原来每枝的进价为x元，根据题意，得

                   (12-x)/x+5%= [12-(1-4%)x]/(1-4%)x

解这个方程，得

                      x=10

        经检验，x=10是原方程的解。

答：这种钢笔原来每枝的进价为10元。

[练一练]3、小张购进20张IC卡，以每张15元的价格出售，当剩下最后两张时，为了及时售完，小张只得按进价售出，这样，利润率就比全部以15元的价格出售降低了2.5%。求每张IC卡的进价