分式的基本性质(1)

教学目标

　　1.使学生理解分式的基本性质，并会运用分式的基本性质将分式进行变形；

　　2.通过对比分数和分式基本性质的异同点，渗透类比的思想方法.

教学重点和难点

　　重点：正确理解分式的基本性质.

　　难点：运用分式的基本性质，将分式进行变形.

教学过程设计

　　一、复习

　　计算下列两题，在运算中应用了什么方法?

　　(1)215×310；　　　　　　(2)34+56.

　　答：(1)512×310=5×312×10=18

　　　　(2)34+56=3×34×3+5×26×2=912+1012=1912=1712.

　　第(1)题，在分数乘法运算中，运用了“约分”的方法，使运算更简捷；第(2)题，在异分母的分数加法运算中，运用了“通分”的方法，把异分母的分数加转化为同分母的分数

加法.　

　　问：“约分”和“通分”的根据是什么?

　　答：“约分”和“通分”的根据是分数的基本性质，即分数的分子与分母都乘以(或

除以)同一个不等于零的数，分数的不值不变.

　　二、新课

　　分式和分数也有类似的性质.

　　分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：

　　　　　　AB=，AB=.(其中M是不等于零的整式)

　　分式中的A，B，M三个字母都表示整式，其中B必须含有字母，除A可等于零外，B，M都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.

　　问：分数的基本性质与分式的基本性质有什么区别?

　　答：在分数的基本性质中，分子与分母是都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，这个“数”是一个具体的、唯一确定的值；而在分式的基本性质中，分式的分子与分母则是都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，“整式”的值是随整式中字母的取值不同而变化的，所以它的值是变化的.

　　指出：从分数到分式是把“数”引伸到“式”.分数是分式的特殊情形，即当分式的分

子和分母均为数，并且分母是不等于零的数，就在为分数.

　　分式的基本性质是分式进行变形和运算的理论根据.

　  例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的?

　　(1)a²b=ac²bc(c≠0);　　　　(2)x3xy=x2y.

　　问：请同学观察(1)和(2)，等式从左边到右边，分式的分子与分母都经过了怎样的变换?变换后，为什么分式的值不变?

　　答：等式(1)的左过分式的分子与分母都乘以不等于零的整式C而得到右边的分式.

　　等式(2)的左边分式的分子与分母都除以不等零的整式X而得到右边的分式.(X≠0)是从分式x3xy中可知，即x≠0，y≠0,否则原分式就没有意义.

　　变换后分式的值不变，这是依据分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘以(或除以)

同一个不等于零的整式，分式的值不变.

　　解(1)因为c≠0,所以a2b=a·c2b·c=ac2bc.

　　　(2)因为x≠0,所以x3xy=x3÷xxy÷x=x2y.

　　指出：题中所给出的分式，它的分母的值不能等于零，这是隐含条件.

　　例2 填空：

　　(1)a+bab=（　　）a2b;　　　　(2)x2+xyx2=x+y（　　）.

　　分析：(1)右边的分母a2b等于左边的分母ab乘以a，为保证分式的值不变，右边分式的分子也应是左边分子(a+b)乘以a，即(a+b)·a=a2+ab.

　　(2)右边的分子x+y等于左边的分子x2+xy=x(x+y)除以x，为保证分式的值不变，右边分母也应是左边的分母x2除以x,即x2÷x=x.

　　解 (1)a2+ab.  (2)x.

　　例3 在什么条件下，下列各等式中的左式可以化为右式?

　　(1)2x－2=2(x+3)(x+3)(x－2);　　(2)3－2x3x－2x2=1x.

　　分析：(1)等式左边分式的分子与分母都乘以(x+3)，得到等式右边的分式，根据分式的基本性质，只有当x+3≠0，即x≠－3时，分式的值不变.

　　(2)等式左边分式的分子与分母都乘以3－2x，得到等式右边的分式，根据分式的基本性质，只有当3－2x≠0，即x≠32时，分式的值不变.

　　解 (1)当x≠－3时，把等式左边的分式的分子与分母都乘以(x+3),可以化为右式；

　　(2)因为3－2x3x－2x2=3－2xx(3－2x),当3－2x≠0，即x≠32时，把等式的左边的分式的分子与分母都以3－2x，可以化为右式.

　　三、课堂练习

　　1.下列等式的右边是怎样从左边得到的?

　　(1)1ab=cabc(c≠0);　　　　(2)a2xbx=a2b;

　　(3)1x－1=x+1x2－1(x+1≠0);　(4)(x－y)2x2－y2=x－yx+y.

　　(5)axy=2a22xya(a≠0);　　　(6)12a+b=2a－b4a2－b2(b≠0);

　　(7)x－yx2－2xy+y2=1x-y.

　　2.填空：

　　(1)xy=(    )x2;　　　　　　 (2)aba2=b(　　);

　　(3)1xy=(    )2xy2;　　　　  (4)a2+aac=(　　)c.

　　(5)x2+3x2ax－bx=(　　)2a－b;  (6)a+2a－3=(a+2)2(　　);

　　(7)a2+ab+b2a+b=a3－b3(　　)  (8)x2－xyx(x+y)=x－y(　　).

　　四、小结

　　在分式的基本性质中，要注意其中的“都”、“同”和“不”等关键词语.“都”是

指分式的分子与分母共同乘以(或除以)一个不等于零的整式，“同”是指分式的分子与分母乘以(或除以)的整式必须相同；“不”是指分式的分子与分母乘以(或除以)的整式的值不能等于零.

　　分式的基本性质是分式变形和运算的理论依据.

　　五、作业

　　1.下列等式的右边是怎样从左边得到的?

　　(1)zyx=z2xyz(z≠0);　　　　　　(2)axyabxy2=1by(x≠0,y≠0,a≠0);

　　(3)1x+1=x－1x2－1=(x－1≠0);　　　(4)x－1x2－2x+1=1x－1(x－1≠0).

　　2.填空：

　　(1)3xx+y=(　　)5(x+y);　　　　　(2)x2+xy+y2x3-y3=1(　　);

　　3.若下列等式成立，写出括号内的代数式.

　　(1)x+1xy=(　　)x2y2;　　　　　　(2)2x+3y4x2－9y2=1(　　);

　　(3)x2－y2x2+y2+2xy=x－y(　　);　　(4)x+yx－y=(x+y)2(　　)(x+y≠0).

　　4.下列等式的右边是怎样从左边得到的?

　　(1)1x+2=x－3x2－x－6(x－3≠0);　　(2)x－4x2－5x+4=1x－1;

　　(3)x2－16x+4=x－4;　　　　　　　(4)13x－2=2x－36x2－13x+6(x≠32).

　　课堂教学设计说明

　　分数和分式这两个系统间存在类似的关系，教学中是通过复习分数的基本性质，用类比

的方法引导学生发现分式也具有相应的性质，类比是发现新问题的一种有效的思维方法.当

学生掌握分式的基本性质后，在教学设计中强调让学生比较分式的基本性质和分数的基本

性质的区别与联系，目的是使学生进一步明确分式的基本性质的特点.

　　例题和课堂练习的设计，主要是启迪学生弄清分式在每一步的变形中是怎样依据分式的

基本性质的，这对培养学生严谨的思维品质有重要作用.