【校本研修成果】

寺庄乡初级中学        张振阳

《实数》第一课时教学案例

    教学目标

1．知识与技能

了解无理数和实数的概念，知道实数和整轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算．

2．过程与方法

注重主动参与与探索，同时注重有理数与实数的对比．

3．情感、态度与价值观

养成主动参与意识与观察分析的能力．

教学重点难点

重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律．

难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算．

教学过程

（一）创设情境，导入新课

问题1  用什么方法求？其结果如何？

用计算器可求得＝1.414 213 562．

问题2  你能利用平方关系验算所得的结果吗？

用计算器计算1.412 135 62的平方，结果是1.999 999 99．

问题3  验证的结果并不是2，而是接近于2，这说明了什么问题？

说明所求得的的值只是一个近似值．

问题4  那么到底是怎样的数呢？

（二）合作交流，解读探究

探究  使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？

3，，，，，．

我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即

3＝3.0，＝－0.6，＝5.875，＝，＝，＝．

归纳  任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．

观察  通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，π＝3.141 592 65…也是无理数．

结论  有理数和无理数统称为实数．

试一试  把实数试着来分类．

像有理数一样，无理数也有正负之分．例如，，π是正无理数，，，－π是负无理数．由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：

我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示．无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？

探究  如图10—3—1所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？

观察思考  从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以O′的坐标是π．

这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来．

又如，以单位长度为边长画一个正方形（如图10—3—2所示），以原点为圆心，正方形对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点表示－．（为什么？）

总结  1．事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来．这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数．

当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．

2．与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大．

讨论  当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？

思考  1．的相反数是________．

2．－π的相反数是______．

3．0的相反数是______．

4．＝____，|－π|＝______，|0|＝________

总结  数a的相反数是－a，这里a表示任意一个实数．一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

（三）应用迁移，巩固提高

例1  把下列各数分别填入相应的集合里：

，，－3，141，，，，，0.101 001 000 1…，1.414，－0.020 202…，

{正有理数：             }

{负有理数：             }

{正无理数：             }

{负无理数：             }

【评析】  本题考查无理数的定义，解题思路是按无理数的定义判断，本题的易错点是将，1.414当成无理数，解题关键是透彻理解无理数的定义．

解：{正有理数：，，1.414}

{负有理数：－3.141，，－0.202 020…}

{正无理数：，，0.101 001 000 1…}

{负无理数：，}

例2  试估计＋与π的大小关系，在此基础上比较－（＋）与－π的大小，并化简|＋－π|的值．

【评析】  正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行，在比较两个负数大小时，可根据它们的绝对值的大小来比较

解：用计算器求得：＋≈3.146 264 37

而π≈3.141 592 654

这样可判断：＋＞π

同样有：－（＋）＜－π

|＋－π|＝＋－π

（四）总结反思，拓展升华

小结  1．什么叫做无理数？

2．什么叫做有理数？

3．有理数和数轴上的点一一对应吗？

4．无理数和数轴上的点一一对应吗？

5．实数与数轴上的点一一对应吗？

拓展  已知m是的整数部分，n是的小数部分，试计算m－n的值．

【点拨】  （1）认定＜＜故m＝5

（2）是由其整数部分和小数部分组成的，即＝m＋n

所以n＝－5．

【答案】  m－n＝6－

（五）课堂跟踪反馈

P86 习题13.3  2，3