《圆内接四边形》

【研修作业】   杨瑞红 / 南乐县初中数学1坊

    一、教学目标 ：

掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理。

    二、教学重点和难点：

 重点：圆内接四边形的性质定理。

 难点：圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用。

    三、教学方式：

 利用多媒体技术《几何画板》进行探索发现学习

    四、教学过程 :

1. 习旧引新

⑴ 在⊙○ 上 , 任到三个点 A 、 B 、 C, 然后顺次连接 , 得到的是什么图形 ? 这个图形与⊙○ 有什么关系 ?

⑵ 由圆内接三角形的概念 , 能否得出什么叫圆的内接四边形呢 ( 类比 )?

2. 概念学习

⑴ 什么叫圆的内接四边形 ?

⑵ 如图 1, 说明四边形 ABCD 与⊙○ 的关系。

3. 探讨性质

⑴ 前面我们已经学习了一类特殊四边形 ---- 平行四边形 , 矩形 , 菱形 , 正方形 , 等腰梯形的性质 , 那么要探讨圆内接四边形的性质 , 一般要从哪几个方面入手 ?

⑵ 打开《几何画板》 , 让学生动手任意画 ⊙○ 和⊙○的内接四边形 ABCD 。 ( 教师适当指导 )

⑶ 量出可测量的所有值 ( 圆的半径和四边形的边 , 内角 , 对角线 , 周长 , 面积 ), 并观察这些量之间的关系。

⑷ 改变圆的半径大小 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ?

⑸ 移动四边形的一个顶点 , 这些量有无变化 ? 由 (3) 观察得出的某些关系有无变化 ? 移动四边形的四个顶点呢 ? 移动三个顶点呢 ?

⑹ 如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢 ?( 让学生回答 )

4. 性质的证明及巩固练习

⑴ 证明猜想

已知 : 如图 1, 四边形 ABCD 内接于⊙○ 。求证 :∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180° 。

⑵ 完善性质

① 若将线段 BC 延长到 E( 如图 2), 那么 ,∠DCE 与 ∠BAD 又有什么关系呢 ?

② 圆的内接四边形的性质定理 : 圆内接四边形的对角互补 , 并且任何一个外角都等于它的内对角。

⑶ 练习

① 已知 : 在圆内接四边形 ABCD 中 , 已知 ∠A=50°,∠D-∠B=40°, 求 ∠B,∠C,∠D 的度数。

② 已知 : 如图 3, 以等腰 △ABC 的底边 BC 为直径的⊙○ 分别交两腰 AB,AC 于点 E,D, 连结 DE,

求证 :DE∥BC 。 ( 演示作业本 )

5. 例题讲解

引例已知 : 如图 4,AD 是 △ABC 中 ∠BAC 的平分线 , 它与 △ABC 的外接圆交于点 D 。

求证 :DB=DC 。 ( 引例由学生证明并板演 )

教师先评价学生的板演情况 , 然后提出 , 若将已知中的“ AD 是 △ABC 中的 ∠BAC 的平分线 ” 改为“ AD 是 △ABC 的外角 ∠EAC 的平分线 ”, 又该如何证明 ? 引出例题。

例已知 : 如图 5,AD 是 △ABC 的外角 ∠EAC 的平分线 , 与 △ABC 的外接圆交于点 D,

求证 :DB=DC 。

    五、课后小结 :

（为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象 , 让学生组成小组 , 从概念 , 性质 , 方法 , 特殊性进行讨论 , 然后对讨论的结果进行归纳。）

⑴ 本节课我们学习了圆内接四边形的概念和圆内接四边形的和要性质 , 要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念 , 理解圆内接四边形的性质定理 ; 并初步应用性质定理进行有关命题的证明和计算。

⑵ 我们结合《几何画板》的使用导出了圆内接四边形的性质 , 在这一过程中用到了许多数学方法 ( 实验 , 观察 , 类比 , 分析 , 归纳 , 猜想等 ), 同学们要逐步学会用并关于应用这些方法去探讨有关的数学问题 , 提高我们的数学实践能力与创新能力。

    六、布置作业

⑴ 如图 6, 在等腰直角 △ABC 中 ,∠C=90°, 以 AC 为弦的⊙○分别交 BC,AB 于 D,E, 连结 DE 。求证 :△BDE 是等腰直角三角形。

⑵ 已知 : ⊙○ 和⊙○ ＇相交于 A,B 两点 , 经过 A,B 两点分别作直线 CD 和 EF,CD 交⊙○, ⊙○ ＇于 C,D,EF 交⊙○, ⊙○ ＇于 E,F, 连结 CE,AB,DF 。

问 : 当 CD 和 EF 满足怎样的条件时 , 四边形 CEDF 是怎样的特殊四边形 ? 并证明所得的结论。 ( 选做 )