研修作业   刘伟领   南乐初中数学一坊 

全等三角形的应用

教学目标

    （一）教学知识点    应用三角形全等的有关知识图、测量旗杆的高度．

    （二）能力训练要求

    1．利用全等概念及其基本的图形变换寻求全等关系．

    2．掌握构造全等三角形的基本方法．

    （三）情感与价值观要求

    通过活动，提高学生的建模意识与建模能力，培养学生的创新意识，激发他们勇于探索、热爱科学的精神．

    教学重点    根据三角形全等的知识测量旗杆的高度．构造全等三角形的方法与技巧．

   教学过程

    Ⅰ．提出问题，创设情境

    出示投影，提出问题．

    观察下列图形的特点：

    有几组全等图形？请一一指出．

    [生甲]两个小圆全等，还有两个锐角三角形全等．

    [生乙]两个小“L”形也是全等的．

    [师]根据什么可以判断它们全等呢？

    [生]观察它们形状、大小是否一致，这里可以用工具量，也可以通过平移、翻折、旋转来看它们是否完全重合，若能就是全等形．这是全等的概念．

    [师]很好，生活中许多美妙的图案都是通过全等形拼接出来的．如我们的衣服上好多图案就是根据全等形设计的图案．下面请同学们做活动，体验全等三角形的奇妙作用．

    Ⅱ．导入新课

[活动一]下图是两个根据全等形设计的图案．仔细观察一下，每个图案中有哪些全等形？哪些是全等三角形？

    通过观察和讨论不难发现：     图甲中四个菱形全等，四个黑色的四边形全等，八个三角形全等．

    图乙中四个小正方形全等，1～8这八个小三角形全等，9～12这四个三角形全等．

    另外我们还可以发现一些拼接后的全等形．如：1、9、2；8、10、7；6、11、5；4、12、3分别组成的四个长方形全等．还有很多，有兴趣的话下课后继续找．

    [活动二]测量旗杆的高度

操场上有一根旗杆．你能利用一些简易工具，根据全等形的有关知识，测量出旗杆的高吗？

    [师]在你的桌子上构建一个操场模型，以笔作旗杆，试试看，怎样可以解决这个问题？同伴间交流操作方法．

    （给学生充分的思考和讨论时间，一旦有合理的部分就给予鼓励和肯定，并指出不足，适时引导，使操作方法更趋完善和简便）

    [生甲]我的想法是这样的，人站在离旗杆一定距离处，看旗杆顶端有一个仰角，将这个仰角侧出．因为旗杆与地面垂直，并且旗杆底部与人的距离可以测出，那这个直角三角形就是一个确定的三角形．然后我们在操场地面上再作出与这个直角三角形全等的三角形．量出与旗杆相等的对应边长，就知道旗杆的高了．如图所示：

    [师]我们不能爬上旗杆顶端，通过你的构造解决了一大难题，把旗杆搬到了地面上，这样可以用皮尺量长度了。但老师想问一个问题：你的仰角大小如何测量？

    [生甲]用量角器啊．

    [生乙]你的视线是看上去的一个方向，这条线没法画，我看用量角器没法量．地面上三角形的角倒是可以量．

    [师]有道理．而且这样做由于三角形比较大，在做直角和量角器测角时都有较大误差．即使能做也不是理想的做法，那么我们能不能在此基础上改进一下呢．

[生丙]我爸爸是搞工程的，我见过他有一个测角仪，用它测角比量角器测角既方便又准确．所以我想这样测可以解决上述两点不足．用一根竹竿，将它平放在旗杆底部，使它的一端与旗杆底部重合，人站在竹竿的另一端用测角仪测得此时的仰角，然后转身再测一仰角与刚才的仰角互余，移动竹竿，使其仰角线正好过竹竿顶端．这时利用全等三角形知识可得人到竹竿的距离即旗杆的高．如图所示．

 

   

    所以△ABC≌△EDA．

    所以AD=CB．

    量出AD的长即旗杆BC的高．

    [师]很好，你的想法又进一步．可是我们没有测角仪，只有一些简单的工具，比如说：皮尺和竹竿．如何改进能测出旗杆的高度呢？请同学们再讨论讨论．

    [生]要是不测角的话，能不能让竹竿立起来保持与旗杆平行，使人的视线恰好过竹竿顶端和旗杆顶端，这样就有两个直角三角形了．并且可以测量出人到竹竿的距离与人到旗杆的距离．但它们不是全等三角形呀．那么这两个距离有什么关系呢？

    [师]你能将你的想法用图表示出来吗？

[生]可以．（如图所示）

    [师]你的想法是很有价值，请同学们想一想，能不能在这个图形的基础上再构造出一些全等三角形呢？假如测得BD=AB．

    （学生讨论）    [生甲]我想出来了，可以将AB五等分，分别过等分点作AC的平行线与BC有交点，此时这些交点也将BC五等分，再过这些等分点作AB的平行线，就可以得出一些小三角形，这些小三角形是全等的．（如图所示）

    数数看有5个三角形全等，这也就是说旗杆高有5个竹竿的长度，这时我们只要量出竹竿的长度，再乘以5，就是旗杆的高度了．

    [生乙]我同意他的想法，但我不同意他的算法，我们再观察图6和图7，可以发现DE的长度应该等于竹竿高度减去人身高，最后算出的旗杆高度应等于5DE+人身高．

    [生丙]假如AB不是BD的整数倍呢？

    [生丁]那可调节竹竿的高度嘛．

    [生戊]那我们能不能推测若AB=nBD，旗杆高度就是竹竿高度的n倍呢？即使n不是整数也可以．

    [师]是这样的，这在我们以后学的相似形中会得以证明．

    同学们，通过探究，我们已经有了基本思路，现在请大家写出一个操作方案来．

    操作步骤：

    第一步：人站定，测量人脚底到旗杆底端的距离．

    第二步：取一竹竿，移动竹竿使竹竿同时满足下列条件．

    ①竹竿与地面垂直．

    ②竹竿底端、人脚部、旗杆底端在一条直线上．

    ③人看旗杆顶端的视线恰好过竹竿顶端．

    第三步：测量人脚底到竹竿底端的距离．

    第四步：测量竹竿的高度．

    第五步：计算旗杆的高度．计算方法如下：

    ①算出人脚底到旗杆底端距离与到竹竿底端距离的倍数n．

    ②竹竿高度－人身高＝h．

    ③旗杆高度＝nh＋人身高．

    这时教师可播放多媒体课件，使学生能更直观地了解测量过程与测量原理，获得更大的感观理解，增强学习信心与兴趣．

    Ⅲ．课时小结

    通过本节数学活动你有什么收获？

    1．复习全等三角形的有关知识．

    2．构造全等三角形的基本方法．

    3．了解数学建模的一般思路．

    Ⅳ．课后作业

    1．观察生活，再找一个利用全等三角形测量距离的实际问题，并亲自实践．

    2．就实践情况，写一份测量报告．

    Ⅴ．活动与探究

    请你找两个被建筑物隔开的物体，然后想办法测量这两个物体之间的距离，并说明利用什么数学知识．

    过程：通过室外活动，使学生进一步了解利用数学知识来解决实际问题的基本方法，体会数学与实际生活的联系．

    结果：主要是利用构造全等三角形来测量距离．

    板书设计

    全等三角形的应用

    活动一：数一数哪些是全等形．

    活动二：测量旗杆的高度．

    操作步骤：

    小结：

    备课资料

    参考练习

1．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（  ）

    A．边角边公理      B．角边角公理；  C．边边边公理       D．斜边直角边公理

    答案：B

1． 如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？

2． 

    答案：要测量A、B间的距离，可用如下方法：

（1）过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE=BA．即测出DE的长就是A、B之间的距离．（如图甲）

    （2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过点D作DE∥AB，使A、C、E在同一直线上，这时△EDC≌△ABC，则DE=BA．即DE的长就是A、B间的距离．（如图乙）．