一元二次不等式及其解法

一、知识梳理   “三个二次”的关系

例：已知不等式ax²－bx－1≥0的解集是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，则不等式x²－bx－a<0的解集是(　　)

A．(2,3)       B．(－∞，2)∪(3，＋∞)   C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))    D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))

二、例题讲练

题型一　一元二次不等式的求解

例1 解不等式：（1）－2x²＋x＋3<0          （2）     若？

（3）x²－(a＋1)x＋a<0        练习：12x²－ax＞a²          （4）ax²－(a＋1)x＋1<0

题型二　一元二次不等式恒成立问题

命题点1　在R上恒成立

例2　(1)若不等式2kx²＋kx－eq \f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．(－3,0]  B．[－3,0)    C．[－3,0]       D．(－3,0)

(2)设a为常数，任意x∈R，ax²＋ax＋1>0，则a的取值范围是(　　)

A．(0,4)    B．[0,4)     C．(0，＋∞)  D．(－∞，4)

命题点2　在给定区间上恒成立

例3　设函数f(x)＝mx²－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

练习：(1)已知函数f(x)＝x²＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．

(2)已知函数f(x)＝eq \f(x²＋2x＋a,x)，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．

命题点3　给定参数范围的恒成立问题

例4　对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x²＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是________．

练习：(1)若不等式x²－2x＋5≥a²－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．[－1,4]         B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)       C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)         D．[－2,5]

(2)已知函数f(x)＝x²＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．

题型三　一元二次不等式的应用

例6　某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加eq \f(8,5)x成．要求售价不能低于成本价．

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；

(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．