信息技术环境下的初中数学变式教学策略研究

  黄智英（浙江省衢州市菁才中学  324000）

                      

在信息技术环境下, 如何开展数学变式教学,是一个有意义的新课题.变式教学是我国数学教学的一种传统和典型的方式, 在国际上被称为“促进有效的数学学习的中国方式”。变式教学在我国有着广泛的经验基础,而且经过了上海市青浦县顾泠沅小组大面积提高教学质量教改实验的实践检验,给我们提供了研究的实验依据. 

近两年来，笔者在信息技术环境下对初中数学变式教学进行了专题研究：根据初中数学的内在特点，我们从当前数学课堂教学现状和教学过程的实际需要出发，充分发挥现代教育技术的优势，认真探索初中数学变式教学中使用教学软件的策略，并取得了显著的成效, 使信息技术成为教师教学和学生数学学习中认知的工具.下面谈一谈笔者基于信息技术环境下在初中数学变式教学策略研究和实践中的一些体会。

一、信息技术与初中数学变式教学

1.数学变式教学的本质含义

数学变式教学, 是指通过不同的角度、不同的侧面、不同的背景从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征时隐时现而本质特征保持不变的教学形式。在保持本质不变的前提下, 数学变式教学主要通过变更数学概念非本质的特征，变更数学问题的条件或结论,转换数学问题的形式或内容,创设实际应用的各种环境来实现.  

2. 信息技术环境

本文中的信息技术环境主要指多媒体计算机、网络教室、校园网和因特网等，是有利于学生意义建构的学习环境。研究的信息技术工具有:电脑、幻灯、电视、实物投影仪,信息技术软件限于Word、PowerPoint、Flash、几何画板、Z+Z超级画板等。

在信息技术环境下实施数学“变式”教学的关键，是确立适当的初始问题作为范式，它必须具有可变性(一般化，特殊化，深化，强化)。初始问题确立后，就找准了“变式”的切入口，为学生的认知创造了情景，从而可将学生引入寻其因、追其果的境界。因此，信息技术环境下“数学变式教学”成功的关键是初始化问题的确立。

实践证明，构建有利的“信息获取”环境,在信息技术环境下进行数学变式教学，用来解决数学教学难的问题，不仅简单易行，容易着手，力度较好把握，而且效果也较明显. 

3. 初中数学变式教学的意义

数学是思维的科学,数学变式教学是数学本质的教学.变式教学中变化的仅仅是数学对象或数学问题中非本质的东西，如概念、定理、题目结构等的不同表达形式，而本质的特征则保持不变。变式教学的目的是让学生在题目情境变化中，能概括出有关数学概念、公式、定理、法则及一些数学思想方法的本质特征。

初中数学变式教学，对提高学生思维能力、应变能力是大有益处的。恰当合理的变式练习能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，成为学生掌握基本知识和基本技能、灵活应用数学知识“再创造”的中介. 变式问题的设置和探究由易到难，使不同水平的学生都能参与到其中，让成绩较差的学生也能获得成功的体验，激发他们的探索欲． 这符合新课程理念中提出的关注学生个性发展的理念,可有效提升学生的数学思维层次.

二、信息技术在初中数学变式教学中的作用

信息技术环境已对数学教育教学过程产生了深刻的影响。根据数学的学科特点和初中数学的教学目的，在初中数学变式教学中使用多媒体的作用主要有：

1. 有利于培养学生的学习主动性, 提高学习数学的兴趣

在信息技术环境下，学生通过多种渠道接触到以文字、图片、音频、视频、动画等多种形式展现的数学变式教学信息，不仅可以帮助学生提高获取数学技能和基本活动经验的能力，帮助学生提高数学思维能力和理解能力，还可以培养学生的学习主动性,为学习的主动建构创造最有利的“信息获取”环境。

案例1  在讲授“多项式乘多项式”时，我设计如下的特殊化变式题组让学生做：(在多媒体上展示) 9.8×99=    ，9.89×999=    ，学生回答：“这还不容易，等我算一算”。播放计算机中事先录好的配乐声音：“不必算了，只需几秒钟就能算出，可以算的比我还要快”。学生奇怪了，“老师，是这么算的？”我说：“你们不必急，等学完本节课的知识你们就会知道，相信你们也很快能掌握的”。这样，学生为了掌握这道题的计算捷径，听课特别认真，不仅激发了学生学习兴趣，还能培养学生的探究能力。

2.有利于呈现知识发生的过程，突破重点和难点

数学学科抽象性、逻辑性很强，如何把抽象的数学知识教的生动形象，让学生学的简单些,容易些,这是每一个数学教师时常在思索的问题。初中学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，变式教学多媒体课件可在数学知识的抽象性和学生思维的形象性之间架起一座桥梁，使抽象的概念具体化、形象化，通过动态展示，加强学生的直观印象，这样传统教学方式难以解决的重点、难点的教学，在数学变式教学中应用多媒体可以较好地得到解决，有利于呈现过程，突出重点、突破难点，达到事半功倍的效果。

案例2 （概念变式，用几何画板制作）教同类项概念时，我们编排这样一组习题：

判断下列各题中的两项是不是同类项：

与；（2）与；（3）与；（4）与。

在多媒体屏幕上，可以动态地演示通过变换系数、字母及其位置、字母的指数，这样化静为动的显示，步步引导，环环推进，在学生的头脑中留下深刻表象，有助于实现由感知 — 表象 — 抽象心理转化，起到了“润物细无声”的效果，使学生对同类项这一概念有透彻的理解：同类项的本质特征是（1）所含字母相同（位置可以不同），（2）相同字母的指数相同（不同字母的指数可以不同，系数也可不同）。

案例3  （图形变式，用Flash制作）画图象y=3x²； y=3(x+1)²；y=3x²+6x－1.

按传统的教法一点一点地画，费事且费时，变化过程也看不出来。若借助于Flash课件，图象美观，且图象的伸缩，左右移动的过程表现的淋漓尽致。

第一步：点击“开始”，出现y=x²的图象

第二步：点击“下一步”按纽，曲线纵坐标伸长到原来的3倍，得到y=3x²的图象

第三步：点击“下一步”按纽，曲线向左缓慢移动1个单位，得到y=3(x+1)²的图象；

第四步：点击“下一步”按纽，曲线向上缓慢移动5个单位，得到y=3(x+1)²－5的图象；

若想重看上一步，可点击“上一步”按纽，若想返回，点击“返回”按钮，再次展示变换过程，可反复再现，所谓“百闻不如一见”，学生看了，兴趣大增，图象变化的情况深深地印在脑海里，效果很好。

说明:Flash课件在二次函数的图象变换时用很具特色。Flash中的动画具有使物体自动缩放、旋转、变色、变形等功能，只要给出对象的几个关键画面，系统就会根据需要在各个画面之间自动形成平滑的动画，其交互功能很强大。

用动画的方法可以帮助学生突破教材的重难点，加深学生对知识的理解。在信息技术环境下，运用课件动态演示，可把知识的形成过程直观、生动、便捷地展示在学生面前，帮助学生掌握其内在规律，完成知识构建。如学生难以实现的许多探究活动：函数图象的变换、动点轨迹的探求、涉及复杂计算等问题，在几何画板、Z+Z智能教育平台、Flash和Authorware等软件下，都能较方便的进行探究，有利于提高学生的认知技能。

 

3.有利于揭示规律, 培养思维的创造性

我们认为，“变式”不仅仅是一个概念，更是一种思想！是一种在认识事物、分析问题时带有创造性思维的求异、思变的思想.数学教学过程，事实上就是学生在教师的引导下，对数学问题的解决方法进行研究，探索的过程，继而对其进行延拓，创新的过程。信息技术融入数学变式教学可为学生进一步展示数学知识的发生、发展过程。

如在讲授二次函数的图象性质时,字母的值与其相应的图形之间的对应关系、函数的增减性等学生往往难以搞清。教学中切入几何画板或Z+Z超级画板，可直观反映字母a的取值对抛物线开口方向大小、位移、对称轴位置、与 轴交点及函数增减性，通过图形的变化过程，直观、准确地描述了二次函数数形之间的对应性。

案例4  （探究性变式，用几何画板或Z+Z超级画板制作）研究函数y=ax²的图象随a的变化而变化的规律：（1）y=－x² ； y=x²;（2）y=－2x²； y=2x²;（3）y=－3x²； y=3x²;

（4）y=－5x²； y=5x²;（5）y=－9x²； y=9x².

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

几何画板制作                  Z+Z超级画板制作

利用Z+Z软件在计算机上作出二次函数y=x²的图象,再插入变量a,并将a的取值范围设定为(－10,10).拖动变量a ,分别观察函数y=ax²的图象随a（等于）的变化而变化的情况(右图是0<a<10的情形),引导学生得到y=ax²的图象的开口方向、开口大小与系数a的关系规律。

说明: 对于抽象的概念、模型，如函数中函数值随自变量的变化而变化，二次函数的图象（抛物线）随△的正负而上下移动，这些能利用动画十分直观、形象的表现出来，而且可以反复再现，还可以逐步分解其变化过程，使其变化规律凸现出来。这比单纯的讲解，学生更容易理解和接受。

图形语言比自然语言更直观，加上动画的生动形象：文字的闪现、图形的缩放和移动、颜色的变换等更能刺激学生的兴奋点，教学效果当然会更好.

4.有利于扩充信息，增大课堂容量

网络信息、多媒体教学软件等的应用为我们提供了强大的情景资源。把信息技术与数学变式教学结合起来，有利于扩充信息，增大容量，提高效率。更重要的是学生在通过网络查询并收集有关资料的过程中，能深深的体会到网络互动交流式的学习环境，视野开阔，多资多彩，浩瀚无穷。

如在进行“税收问题”的教学中，可以让学生在网上搜索“税收咨询”的网站。学生根据自己的兴趣、爱好，在网站上用“协作”与“对话”的方式进行探索，了解各种税收政策，学习税费的各种计算方法，对这些资料进行分析、处理、应用，并参与网上讨论，可以扩展学生的数学视野。

二、信息技术环境下优化课堂教学的数学变式教学策略表述

经过二年多的实践检验，信息技术环境下的初中数学变式教学能更好地促进学生数学素养的形成，给学生提供一个求异、思变的宽松的创新氛围和无限的想象空间，让学生从差异中去比较、鉴别.针对调查中发现的问题及课题研究的需要，我们在研究中发现：如下一些变式策略是比较适合信息技术环境下的变式教学的：

1．静态展示策略

这是利用信息技术的快速显示功能 ，在数学变式教学中有效提高课堂教学效益的一种教学策略。

初中数学变式教学课堂中往往需要大量板书，特别是在介绍一些数学知识在现实生活中的应用时。如采用传统的板书，将消耗课堂上宝贵的时间；如果口头说明，则很难引起学生足够的注意力。这时，采用信息技术的快速显示功能，将需要板书内容存放在事先准备好的Word或PowerPoint文件中，在课堂上呈现出来，能解决课堂内大量板书的问题，节省时间，增大课堂教学容量，高效的使用课堂45分钟，学生会将更多的注意力转移到老师的讲解上面，从而加深对知识的理解，收到满意的教学效果。还有在对学生的作业讲评时，利用实物投影，可以直接展示学生的作业中的典型错误，优秀解法等，也可减轻教师不同班级多次重复板书的负担。

我们在研究中作静态图文为主的演示时，用的最多的是用PowerPoint制作的变式教学课件。编制Powerpoint程式简单，能制作出形象、色彩鲜明、声色结合的背景，主要工作是图形文字的录入，能分层显示，但动画效果与交互不太灵活。下面举数例说明：

（1）图形直观，加深理解

在几何概念教学中，学生往往对等腰三角形、垂直、圆周角、三角形的外角、对顶角等几何概念的内涵掌握不好，提供概念本质性的图形变式课件，通过标准图形与非标准图形的比较，容易区分出哪些是图形的本质特征，哪些是图形的非本质特征.把图形的本质特征部分用红色闪烁的线条标出来且配以声音或一首CD音乐，再现知识点，以此突出重点，运用比较、对比、类比，为学生提供便于抽象概括的感知材料，可加深学生对这一知识的理解，培养思维的深刻性。

案例5  （图形变式，幻灯片格式用PowerPoint制作）分别展示下图中垂直、平行四边形、三角形的高的标准图形和非标准图形(即图形变式):

引导学生通过概念图形与非概念图形的比较，有利于学生十分直观地理解垂直、平行四边形、三角形的高的概念的本质属性。

用PowerPoint制作的图形变式课件可以用在概念的引入、建立、巩固和运用多个环节，并且都能收到较好的效果。

（2）举一反三、触类旁通

在数学课变式教学中，Word格式的课件往往被忽视，实际上用处很大。我们将正文设置为楷体_GB2312,三号加粗,在多媒体屏幕上放影效果是非常好的，如：

案例6  （公式变式，用Word制作）在讲完同底幂乘法和幂的乘方时，对公式和（其中m，n都是正整数）可作如下变式训练：

（1）             ；（2）            ；

（3）             ；

（4）=              ；

（5）

（6）。

这组变式题先从数字到字母，继而从一个字母到把(a+b)看成一项，以及灵活运用公式结论的分析过程，能够启发学生由此及彼，由表及里，由浅入深，由简到繁，灵活变换的思维能力，是培养学生举一反三、触类旁通的重要手段，能让学生自如、顺畅地进入数学的学习状态,比较顺利地建立新概念。

（3）全面概括，准确思维

概括就是指对所学的方法和解决问题的思路进行合理的提练概括，并加以掌握，能从所学的方法和思路中抽象出一般化的成分。

案例7 （复习型变式，用Word或PPT制作）

复习特殊平行四边形：

提出范式：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且

阅读下段材料，然后回答问题：

如图，连结BD，因为，所以EH∥BD；因为，所以FG∥BD，所以FG∥EH。

(1)连结AC，则EF与GH是否一定平行，答：         。

(2)当k为      时，四边形EFGH为平行四边形.

(3)在(2)的情形下，对角线AC与BD只须满足            条件时，四边形EFGH是矩形.

(4)在(2)的情形下，对角线AC与BD只须满足            条件时，四边形EFGH是菱形.

(5)在(2)的情形下，对角线AC与BD满足             条件时，四边形EFGH是正方形.

这一例中，教师选取适当的变式题组来让学生练习，促使对象的非本质特征产生变异，从而帮助学生保持对这一知识完整的认识。通过上述的变式设问，使学生对特殊的平行四边形的定义和判定有深刻的理解，而且能帮助学生从多角度去扩大思维线索，增强运用数学知识的能力.

2．动态探究策略

利用信息技术在数学教学中的动态演示功能，在数学课堂教学中，把信息技术作为演示的工具，成为其应用的主流，现代多媒体信息技术、多媒体教学软件可以为教学提供强大的情境资源，能展示知识发生的过程，注重学生思维能力的培养，多媒体课件采用动态图象演示，让静态知识动态化，让抽象知识具体化，其突出的较强的刺激作用，有助于理解概念的本质特征，促进学生在原有认知的基础上，形成新的认知结构。传统的教学方式，教师只能在黑板上通过板书、作图来传递知识，而一些动态的数学知识教学，教师不得不借助口头语言、身体语言将动态画面说“动”，而这样抽象的知识学生仍只能够“感受”。信息技术将过去传统的、静态的书本教材转变为由声音、文本、图像、动画等构成的动态教材，在处理数学上的一些动态图象时，《几何画板》、AuthorWare、flash等能够形象地将这种动态变化的过程表现出来。

动画的对象可分为两类：一种是把教材的静态图形“动”起来，反映其运动变化规律和空间结构等教学内容。另一种是使抽象的概念变得形象，易理解，使教学内容更为生动有趣。

(1) 感知变化过程

把计算机作为新教学媒体用于课堂教学中的演示,它既可以动态呈现数学问题的变化发展过程，将缓慢的变化和高速的运动清晰表现出来，将实物放大或缩小，为全体学生的充分感知创造条件。也可以重新组织情景，突出事物的本质特征，促进学生形成稳定清晰的表象，为学生学习概念规律创造条件。

案例8   （应用型变式，用Z+Z超级画板制作）如图，△ODE中，底边长OD=100米，高OE=80米，则矩形OABC的面积是随着哪些量的变化而变化？

出示问题后，学生普遍回答:随长和宽的变化而变化(也许还会回答其它量，只要合理都给予肯定).

设矩形OABC的面积为y， OA=x，用Z+Z超级画板显示点B在DE上运动时x的值和相应的矩形面积，动点（x，y）的轨迹即是x和y之间的函数图象。并单独演示取得最大值时的图形（下面右图）。

 

 

 

 

 

 

 

这样学生获得感性认识后，容易把y表示为x的函数,注出自变量x的取值范围，并用学过的二次函数知识求出面积的最大值。也容易完成如下的任务：

 

    变式1  在上面的问题中，如果设OC=x cm，那么问题的结果又会怎样？

①如果设矩形OABC的面积为y cm²， OC=x cm,把y用x表示出来,并注明自变量x的取值范围。

②用你熟悉的方法求出y的最大值。

变式2  如果把矩形改成如图所示的位置，其它条件不变。设矩形ABCD的长AB=x m，宽AD=a m，那么什么时候矩形的面积最大？最大面积是多少？

评析：《几何画板》和《Z+Z智能教育平台》的最大优势，在于几何图形的动态化和“形”与“数”的同步化，它们能提供一个十分理想的让学生积极探索问题的“做数学”的环境，在应用题教学中，通过变式课件多向启发，使学生思路开阔，学会多角度、多层次、多侧面地立体思维，从而能抓住问题的实质，找出解决问题的关键，总结出规律，促使学生打破常规的解题模式，另辟蹊径，达到思维的简缩，提高数学能力，培养创新意识。

（2）表达数学思想

案例9 （方法变式，用Authorware制作）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长。

（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C₁处；

（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C₁处；

（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA₁＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．

 

本题由正方体→正四棱柱→圆锥进行变式，教学中精心设计变式课件，通过表面展开呈现“化曲为直”的数学思想方法，并可以形象地多次重复，在学生充分感知后，就能逐步抽象出数学思想方法。

评析：“变式训练是中国数学教育的主要特征之一”，通过变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式或图形的关系等，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面提示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法。变式训练能开拓学生的视野，激发学生的创新意识，有利于学生思维和解决问题能力的提高,有助于培养学生的探索精神与创新意识.

(3)完美发现成果

在初三课外兴趣小组活动中,我们用如下例子引导学生进行圆幂定理的探究:

案例9  （图形变式，用几何画板制作）首先，在学习切线长定理的基础上(PA=PB理解为PA²=PB²)，用几何画板动态演示其变化规律:如图①，将切线PA绕P点旋转，变为⊙O的割线PAC，则PA²=PB²=PC·PA，即切割线定理；将切线PB绕P点旋转，变为⊙O的割线，如图②，即变为割线定理；当P点落在圆上时，结论也成立，即PC·0=PD·0，如图③；当P点落在圆内时，即为相交弦定理，如图④；当斜交变为垂直且有一弦过圆心时，即有相交弦定理的推论，如图⑤。

 

 

 

 

 

 

说明: 利用信息技术对数学规律的探索过程，既是应用知识和技能检验规律的过程，又是发现问题、解决问题和完善规律的过程。在上面的问题探索中，用运动的观点展示图形“变式”，让学生不但自己发现了数学的规律，而且在学生理解掌握的基础上将切线长定理、切割线定理、割线定理、相交弦定理及其推论合并，通过将圆外的一点向圆内运动，在多媒体上演示变化过程，又总结完善了这一规律,有利于培养学生构建知识网络,用运动的观点分析问题、解决问题的能力。

3．开放网络型变式教学策略

随着网络技术的普及和深入，多媒体电脑和互联网创造了一个具有无限生机、极具魅力的创造和想象的空间，为数学学习和运用提供了一个无与伦比的广阔舞台。学校已经建立校园局域网，并接入Internet，丰富的网络资源展现在师生面前，学生可以到相关的数学知识网站直接学习，也可以通过BBS、E-mail等讨论数学问题、探讨学习方法，在网络的交互式学习环境中按照自己的学习基础、学习兴趣来选择所要学习的内容和适合自己水平的练习，从而有了主动参与的可能。我们适应学生的信息接受方式，让学生自己走，给他们一片天空，给他们一个支点，让他们体味魅力无穷的数学教学的多媒体网络世界，展现出自己绚丽多姿的生命价值，绽放出自己更加迷人的教学魅力。以问题作为主线，探中有究，究中有探,具有启发性、有目的、有方向、有层次.如案例3,4,9,10,可以让学生在课前、课中、课后都积极地探、层层深入地探，灵活的探、发散的探、创新的探，直至问题解决为止。在电脑网络教室里，让学生利用几何画板等，自己在动态变化中观察静态图形的变化规律，对图形进行定量的研究，通过交流、讨论，最终得到问题的完全解决。

实践证明，恰当地使用多媒体技术，利用图形、图像、文本、声音、动画等多种媒体信息刺激学生的感官，通过形象生动的画面、悦耳动听的音乐等充分展示数学知识的形成过程，能有效地提高初中数学课堂教学效益。

参考文献

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