小问题，大作为

教学目标：本节课针对八年级第一学期期末复习而设计，针对是中等偏上的学生。知识内容包含平面直角坐标系、一次函数、不等式等相关知识，所应用数学思想有分类讨论、数形结合、建模思想。教学时通过问题情境的设计，逐步提升，进而培养学生良好的解题思维。强调了一个解题步骤：解题时要独立思考，要学会交流，更要注重解题后的反思。

教学难点：数形结合思想在解题中的应用，教学时应该充分利用数学画板演示，从而引导学生得到点动成线这一基本思路。

教学重点：一题多解与多解归一的思考路径的寻找，怎样解题——数学解题方法的理解与运用。

教学过程

一：师生问好，引出问题

很高兴能和大家一起度过这美妙的45分钟。问同学们一个小问题：喜欢做数学题吗？

（喜欢的是逗老师开心的，你们肯定会想数学作业又多，题目又难，烦都烦死了，还说什么喜欢。其实数学解题也会很有趣，尤其当你历经千辛万苦，豁然开朗时，是不是感觉很爽，很有成就感。我们说数学是思维的体操，做数学题会让你越来越聪明。今天，我们就一起来解决一个小小的数学题，看看你能不能变得更聪明起来。）我们知道直角坐标系将平面分成四个象限，第1，2，3，4象限，++，-+，--，+-。板书：坐标系)

问题1：先做个小游戏：判断下列各点分别在哪个象限？（第一象限举1个手指，第二个象限举2个指头，看谁反映最快，先举个例子：（-3，-2））

（1，2）第一；(,第三；（-1.5，2015）,第二；（100，-2）， ()第四。

问题2：你认为解题的关键是什么？（关键是点的横纵坐标符号。（100，m）,当m＞0，第一象限，m=0，x轴上，m＜0，第四象限。分成三种情况进行讨论。）                               

问题3：下面,老师再给你一个点,你肯定不知道它在哪个象限?为什么不知道？

（板书：M变——点动）m变化，M也变化，它怎么就确定，关键是确定横纵坐标的符号。

计算下m取什么值时，横坐标是正的，横坐标是负的，纵坐标是正的，纵坐标是负的。

 （板书：横，-，+，纵，-，+）

问题4：现在，老师再增加一些条件，你能否判断点P所在象限？（思考下，做在学案上）

（1）当m=2时，点P在第几象限？（-3，1）第二象限

（2）当m＞1000时，点P在第几象限？（-，+）第二象限

（3）当m＜2时，点P在第几象限？（不能确定，因为不能判断横纵坐标的正负。）

（（1）确定了m的值；（2）（3）确定了m的范围；反过来，（4）当点P在第二象限时，你能得出m的取值范围吗？ ， 也就是说P在第二象限时，。（4）点P确定象限时，m的取值范围也能确定。）

问题5：现在老师把题目再变化一下，这就是今天的终极任务，一个中考模拟题。（出示题目）

试题呈现：（2014•萧山区模拟）已知点P（1-2m，m-1），则不论m取什么值，该P点必不在（　）

A．第一象限   B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

二：深入探究，解决问题

不要急于做题，先仔细阅读题目，然后考虑如何入手，老师还有要求：先独立解答，做在学案上，做好了反思下自己的答案对不对，解法可不可以改进；然后和四周的同学，前后左右都交流下，看看他的解法和你的一样吗，讨论下谁的解法更好些，最后看看解法还能不能改进，还有没有别的解决方法。

（不等式组处理：如果象限确定，则m的范围确定，刚才的问题中，P在第二象限时，我们求出m的＞1，那么点P在第一象限，第三象限、第四象限时，你能不能求出m范围？试试看，无解，表示什么意思，不可能经过。所以我们可以利用各象限点横纵坐标的符号规律，列出不等式组，然后根据不等式组有无解，进行判断．

分类讨论处理：刚才的问题中,如果M的范围确定，点的象限就确定，因为m是全体实数，范围太大，不能确定横纵坐标的符号，那么能不能利用m不同的取值范围进行分类。比如取m＜，你能求出这个时候在哪个象限。第四象限，为什么取，分类的关键是能确定横纵坐标的正负。现来看m＞， 点会在哪个象限？板演：m＜，+，-，第四象限；1＞m＞，-，+第二象限；m＞1， -，-第三象限，因为没有牵涉到坐标轴上点的判断，所以我们将坐标轴上的点排除，所以不取等号。

特殊值处理：M确定，则象限确定，既然是选择题，可不可以用几个特殊的m代入求解？有没有用特殊值代入的，取了几个m， 3个，有没有4个的，有没有5个，有没有取了好多好多个，最后还是没有做出来的？你觉得是什么原因做不出来。不要急于取特殊值，没有，老师提个要求：只能取三个点，就要解决这个问题的，然后你不用计算验证，老师帮你验证。）

板书3：M变，增加：分类讨论、不等式组，特殊值代入——点动

问题6：比较这三个方法，你更喜欢哪一个。（总结这三个方法是紧密连在一起的，解不等式组是从结论出发，利用象限特征逆向求解；分类讨论，是从条件出发，利用m的取值不同顺向求解，注意使横纵坐标为O的值；特殊值法是利用选择题的特点，知道分类讨论，特殊值的选择就会更加有效。）PPT演示三种解法。

解法1：假设点P在某一象限，然后利用该象限内点的横、纵坐标的符号，列出不等组，由此求解．若P在第一象限，则 ，解得，不等式组无解，所以P点不存在．若P在第二象限，则 ，解得，不等式组解为m＞1，所以P点存在．若P在第三象限，则 ，解得，不等式组解为，所以P点存在．若P在第四象限，则 ，解得，不等式组解为，所以P点存在．综上所述，所以P点必不在第一象限．故选A．

解法2：当m＜时，1-2m＞0，m-1＜0，点P在第四象限；当＜m＜1时，1-2m＜0，m-1＜0，点P在第三象限；当m＞1时，1-2m＜0，m-1＞0，点P在第二象限；所以P点必不在第一象限．故选A．

解法3：把m=-2，代入可得1-2m=5，m-1=-3，点P（5，-3）在第四象限；

把m=0．8，代入可得1-2m=-0．6，m-1=-0．2，点P（-0．6，-0．2）在第三象限；

把m=2，代入可得1-2m=-3，m-1=1，点P（-3，1）在第二象限；

所以P点必不在第一象限．故选A．

三、解后反思，深化主题

问题解决了，是不是还有别的事情可以做呢？

问题7：刚才我们是运用数的知识来解决的，现在看能不能利用形来解决这个问题。老师把刚才取的三个点表示在坐标系中。我们知道m变化了，横坐标、纵坐标随着也发生了变化，从而导致点坐标发生变化，那么现在我们来考虑下，横纵坐标是如何随m变化的？

板书 ：M变—横坐标1-2m、纵坐标m-1——点动

观察点B，若m增大，则横坐标减少，纵坐标增大，则点P向左上方移动；若m减小，则横坐标增大，纵坐标减小，点P向右下方移动，所以它肯定不会跑到第一象限。老师可以用一个点+利用增减性与坐标的平移来解决问题。有点意思了吧？ 你能求解了吗？

板书：m增大，1-2m减小，m-1增大；图形上表示左上；

m减小，1-2m增大，m-1减小；图形上表示右下；

m增大1，1-2m减小2，m-1增大1；图形上表示；

解法4：把m=1代入可得1-2m=-1，m-1=0，所以P（-1，0）在x轴的负半轴，若m增大，则横坐标减少，纵坐标增大，则点P向左上方移动；若m减小，则横坐标增大，纵坐标减小，点P向右下方移动（如图４），P点只会经过第二、第三、第四象限，所以P点必不在第一象限．故选A．

问题8：我们继续研究下去，如果M增加1个单位，横坐标增加多少个单位，横坐标减少多少个单位？（M增加1个单位，纵坐标增加1个单位，横坐标减少2个单位。）

演示，变中也有不变，这些点是沿着同一个方向移动，

请同学们思考，若m发生变化，点在移动，你觉得这些点会组成什么样的图形吗？（是直线）

问题9：现在，你能求出这条直线吗，y= ，看一次项系数，表示了横坐标变化2个单位，纵坐标变化1个单位，-表示一个增加，另一个减少，很奇妙吧。

你能证明第三个点在直线上吗？你能证明所有这些点都在直线上吗？（看时间，学生口答）

。

我们利用形是一条直线得出Y是X一次函数，求出了y与x的函数关系式。

问题10：回到题目，继续研究下去，因为x随m变化，X=1-2M，y随m变化，Y=M-1，现在你能不能通过这两个等式直接得到y和x的关系吗？

 

解法5：因为P点的横坐标x=1-2m，纵坐标y=m-1，消去m可得P的纵坐标y关于横坐标x的函数关系式，在平面直角坐标系中可作出函数图象（如图6），经过第二、三、四象限，所以P点必不在第一象限．故选A．

板书 ：M变—横坐标1-2m、纵坐标m-1——点动——直线

完美了吗？这么多的点，实际上是形成了一条线。

现在，你更喜欢哪种解法，消元代入很简洁、平移也不错、特殊值也很简单。

四、课后总结，及时内化

我们从条件与结论入手，从数到形，又从形到数，对这一个小问题进行解答，其实，题目的解答方法还有许多，也还可以优化，小问题也有大文章，这就留待同学们课后去思考。

我想总结的是：这一节课主要复习了一些数学知识：坐标、函数、不等式，学习了一些数学思想：分类讨论、数形结合、建模思想，强调了一个解题步骤：解题时要独立思考，要学会交流，更要注重解题后的反思。

我们再来看看美国的大数学波利亚是怎样理解解题的，或许会对你有所启发。（怎样解题介绍）

作业布置：例题从点到线，练习从线到点，试着解决这个问题。最后送各位同学一句话。