课题

垂直于弦的直径（第一课时）

备课时间

2016年11月

课型

新授课

上课时间

教材分析

垂径定理是圆中重要的结论之一，它的得来基于轴对称图形和全等三角形的相关知识，这对于巩固以前的内容大有帮助；同时它是进一步学习讨论《圆》中相关知识的理论基础和有力武器。

学情分析

学生已经具备了轴对称图形的概念和性质以及全等三角形的相关知识，完全可以顺利地通过自我探索和比较验证来得出垂径定理的内容和推论。教师可以大胆放手让学生自己去通过以下活动来完成任务。

教

学

目

标

知识目标

①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；

②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；

能力目标

①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；

②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。

情感目标

①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；

②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

教学

重点

垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。

教学难点

垂径定理及其推论的运用。

教学方法

探究发现法。

教具

圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件、几何画板动态演示文件

                       教

学

过

程

教学反思

问题与情境

师生行为

备注与修改

创设情境导入新课

1.   将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？

2.   将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？

3.   一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？

4.   赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？

前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。

后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。

课件展示这四个问题

合作交流探究新知

1.   圆的对称性

2.   垂径定理

（思考）如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。

①  这个图形是对称图形吗

②  你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。

③  你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

④  你能用几何方法证明这些结论吗？

⑤  你能用符号语言表达这个结论吗？

3．垂径定理的推论

如上图，若直径CD平分弦AB则

①  直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？

②  你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）

③  如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？

圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。

教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。

用几何画板演示折叠

学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。

学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并板书。

教师明确定理中的条件和结论，初步理解“知二得三”口诀的含义。

教师提出问题，引导学生进行思考和讨论。

学生尝试得出垂径定理和推论，教师规范并板书。

教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。

课件呈现这几个结论

垂径定理的内容比较多，且为考察重点，非一课时所能解决，所以此内容最少需两课时来探究。

本节课主要探讨垂径定理及第1条推论，还有它们的应用。

而其它推论和更深入的应用，放在下一节课进行研究。

灵活应用  

提高能力

l  简单应用

如图，在⊙O中，直径MN⊥AB于C，则下列结论错误的是（  ）

A、              AC=BC  B、AN=BN  C、OC=CN D、AM=BM

l  典型应用

如图，在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O的半径

为   cm

（1）  连结什么可得到一个直角三形？

（2）  利用什么知识可以解得半径。

（3）  从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？

l  生活中的应用

如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗?

提示：此中直角三角形AOD中只有AD是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。

l  利用垂径定理进行的几何证明

教材第82练习第2题。

简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.

在典型应用中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。

此题是垂径定理计算题中另一种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用。

教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，让学生做好笔记，养成良好的学习习惯。             

本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。

课件适时呈现巩固练习题目

通过小组讨论后课件展示计算过程

小结升华与作业

l  小结升华

（1）  本节课你学到了哪些数学知识？

（2）  在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？

（3）  这些方法中你又用到了哪些数学思想？

l  作业布置

（1）教材82页练习第1题   88页第11题

分层作业

如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是多少？

（2）家庭作业   练习册

教师提出问题，学生回顾本节课所学知识，自己进行小结，养成梳理知识的习惯。

作业布置直接用课件

通过这种学生自主合作探究学习，不但减轻了教师的负担，同时也培养了学生自学能力，让他们在探究发现的过程中提升自己的创造思维能力。同时让他们牢固地树立起“我行”、“我会”、“我可以自己解决问题”……等等有强烈自信心的信念，为今后的教学工作创造有利的条件。不过这会让教师花费很多时间来仔细研究教材、制作适合教材和学生的课件以及配套资料，虽然有这些让教师劳累的因素，但是我还会继续坚持下去，不为其他，就为那些期待知识的幼稚眼神。